Frobenius-Homomorphismus/Projekiver Raum/Direkt und basistrivial/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus

Den Frobenius-Homomorphismus kann man iterieren, die -te Iteration ist die Abbildung

mit .



Satz  

Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik .

Dann ist der Frobeniushomomorphismus

ein Automorphismus, dessen Fixkörper ist.

Beweis  

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Fakt. Wegen werden die Elemente aus auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es Elemente in mit . Mehr kann es wegen Fakt nicht geben.




Satz  

Es sei eine Primzahl und , .

Dann ist die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung , die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

Beweis  

Es sei

der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein -Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen Automorphismen, und zwar gilt

Bei ist nach Fakt für alle , also ist . Für kann nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.


Auf den Körper mit

ist die -te Frobeniusiteration die Identität. Im folgenden arbeiten wir mit Ringen und Varietäten über einem Grundkörper , der Frobenius ist dann mit der Basis verträglich (auf dem Grundring trivial), hat aber auf den algebraischen oder geometrischen Objekten eine interessante Wirkung.


Definition  

Es sei ein Körper mit Elementen. Dann nennt man die Abbildung

den absoluten Frobenius auf dem affinen Raum.



Lemma  

  1. Der Frobenius-Homomorphismus ist auf dem affinen Raum über die Spektrumsabbildung zum -Algebrahomomorphismus
  2. Ein Punkt

    gehört genau dann zu , wenn

    ist.

  3. Wenn und ist, so ist auch .

Beweis  

  1. Es sei

    der angegebene -Algebrahomomorphismus. Ein Punkt mit Koordinaten aus zu einer beliebigen Körpererweiterung ist als -Algebrahomomorphismus

    aufzufassen. Die Verknüpfung mit dem algebraischen Frobenius-Homomorphismus ist durch gegeben, was dem -Punkt des affinen Raumes mit den Koordinaten entspricht.