Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Addition/Einführung/Textabschnitt

Definition

Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Addition, eingeführt (dabei bezeichnen ${}a,b$ natürliche Zahlen). Es ist

${}a+b:=a+b\,,$

${}a+(-b):={\begin{cases}a-b,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\-(b-a),{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$

${}(-a)+b:={\begin{cases}b-a,{\text{ falls }}b\geq a\,,\\-(a-b),{\text{ falls }}b<a\,,\end{cases}}\,$

${}(-a)+(-b):=-(a+b)\,.$

Bemerkung  

Die in Bemerkung besprochenen Interpretationen für ganze Zahlen passen sehr gut zur Addition der ganzen Zahlen. Die Addition einer Reihe von Ausgaben oder Einnahmen führt zur Gesamteinnahme bzw. Gesamtausgabe; wenn man hintereinander mehrfach nach vorne (oder nach rechts) bzw. nach hinten (nach links) geht, so beschreibt die Addition den Gesamtbewegungsvorgang; wenn die einen Äpfel von ${}G$ nach ${}H$ und die anderen von ${}H$ nach ${}G$ schmeißen, so beschreibt die Addition den Gesamttransport. Hierzu muss man sich nur davon überzeugen, dass die über die Fallunterscheidung definierte Addition genau das macht, was im (Bewegungs-)Prozess geschieht. Wenn man beispielsweise zuerst ${}a$ Äpfel von ${}G$ nach ${}H$ transportiert und dann ${}b$ Äpfel ebenfalls von ${}G$ nach ${}H$, so transportiert man insgesamt ${}a+b$ Äpfel von ${}G$ nach ${}H$. Wenn man hingegen zuerst ${}a$ Äpfel von ${}G$ nach ${}H$ transportiert und dann ${}b$ Äpfel in die andere Richtung, also von ${}H$ nach ${}G$ transportiert, so hängt der Gesamtprozess wesentlich davon ab, ob ${}a$ oder ob ${}b$ größer (oder gleich) ist. Bei ${}a\geq b$ transportiert man insgesamt ${}a-b$ Äpfel von ${}G$ nach ${}H$ (vergleiche Fakt), andernfalls transportiert man ${}b-a$ Äpfel von ${}H$ nach ${}G$. Mit diesen Interpretationen werden auch die algebraischen Gesetze für die Addition ganzer Zahlen einsichtig.

Mit der Addition kann man die Nachfolgerabbildung ale Addition mit ${}1$ und die Vorgängerabbildung als Addition mit ${}-1$ auffassen. Die Addition auf den ganzen Zahlen passt auch gut zu der Addition der natürlichen Zahlen, wenn man wie in der Definition unter ${}x+y$ das Ergebnis versteht, das sich ergibt, wenn man von ${}x$ ausgehend den ${}y$-fachen Nachfolger nimmt. Entsprechend stimmt ${}x+a$ mit dem ${}a$-fachen Nachfolger von ${}x$ und ${}x+(-b)$ mit dem ${}b$-fachen Vorgänger von ${}x$ überein (dabei ist $x\in \mathbb {Z}$ und $a,b\in \mathbb {N}$).

Bemerkung  

Innerhalb der ganzen Zahlen besitzt die mit den natürlichen Zahlen ${}a,b$ formulierte Gleichung

${}a+x=b\,$

eine eindeutige Lösung, nämlich ${}(-a)+b$. Bei ${}a\leq b$ ist das ja nach Definition die natürliche Differenz ${}b-a$, und bei ${}a>b$ ist nach Definition

${}(-a)+b=-(a-b)\,,$

und wegen

${}a\geq a-b\geq 0\,$

ist nach der Definition der Addition und Fakt  (3)

${}a+(-(a-b))=a-(a-b)=(a+b)-a=b\,.$

Diese eindeutige Lösbarkeit überträgt sich auf eine Gleichung der Form

${}a+x=b\,$

mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$, siehe Aufgabe. Diese Aussage folgt auch aus Fakt in Verbindung mit Fakt.

Lemma

Die Addition auf den ganzen Zahlen erfüllt die folgenden Eigenschaften.

1. Die Addition besitzt ${}0$ als neutrales Element.
2. Die Addition ist eine kommutative Verknüpfung.
3. Die Addition ist assoziative Verknüpfung.
4. Zu jedem ${}x\in \mathbb {Z}$ gibt es ein ${}y\in \mathbb {Z}$ mit

   ${}x+y=0\,.$

Beweis

1. Dass ${}0$ das neutrale Element ist, folgt unmittelbar aus den ersten beiden Teilen der Definition der Addition.
2. Die Kommutativität der Addition beweisen wir mit einer Fallunterscheidung, je nachdem, ob die Summanden nichtnegativ (natürliche Zahlen) oder negativ sind. Wenn beide Summanden aus ${}\mathbb {N}$ sind, ergibt sich dies unmittelbar aus der Kommutativität der Addition in den natürlichen Zahlen. Wenn ${}x=a$ aus ${}\mathbb {N}$ ist und ${}y=-b$ negativ ist, so muss man eine weitere Fallunterscheidung vornehmen. Bei ${}a\geq b$ ist

   ${}x+y=a+(-b)=a-b\,$

   nach dem (der ersten Hälfte des) zweiten Teil der Definition, und ebenso ist

   ${}y+x=(-b)+a=a-b\,$

   nach dem (der ersten Hälfte des) dritten Teils der Definition. Bei ${}a<b$ ist wiederum

   ${}x+y=a+(-b)=-(b-a)=(-b)+a=y+x\,$

   nach den Definitionen. Wenn beide Zahlen negativ sind ergibt sich die Kommutativität sofort aus dem vierten Teil der Definition.

3. Die Assoziativität nachzuweisen ist aufwändiger, da dann drei Zahlen ${}x,y,z$ ins Spiel kommen, für die es jeweils mehrere Fälle gibt. Wenn eine der beteiligten Zahlen aber ${}0$ ist, so ist die Aussage wegen der bewiesenen neutralen Eigenschaft der ${}0$ klar. Wir müssen also nur noch die acht Fälle (in denen selbst jeweils wiederum Fallunterscheidungen gemäß der Größenbeziehung der beteiligten Elemente nötig sind) durchgehen, je nachdem, ob ${}x,y,z$ positiv oder negativ sind. Wenn beispielsweise ${}x=a,y=-b,z=-c$ mit positiven Zahlen ${}a,b,c,$ ist, so ist

   ${}x+(y+z)=a+((-b)+(-c))=a+(-(b+c))\,.$

   Wenn ${}a\geq b+c$ ist, so ist dies ${}a-(b+c)$ (in ${}\mathbb {N}$), andernfalls ist dies ${}-((b+c)-a)$. Für die andere Klammerung ergibt sich

   ${}(x+y)+z=(a+(-b))+(-c)\,.$

   Bei ${}a\geq b+c$ ist einerseits

   ${}a\geq b\,$

   und andererseits

   ${}a-b\geq c\,.$

   Somit ist die zweite Klammerung in diesem Fall nach Aufgabe ebenfalls gleich

   ${}(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=a-(b+c)\,.$

   Bei ${}a<b+c$ unterscheiden wir die Fälle ${}a\geq b$ und ${}a<b$. Bei ${}a\geq b$ ist ${}c\geq a-b$ und daher ist unter Verwendung von Fakt  (3)

   ${}(a+(-b))+(-c)=(a-b)-c=-(c-(a-b))=-((c+b)-a)\,.$

   Bei ${}a<b$ ist erst recht ${}a<b+c$ und somit ist nach Fakt  (2)

   ${}(a+(-b))+(-c)=(-(b-a))+(-c)=-((b-a)+c))=-((c+b)-a)\,.$

   Für die anderen Fälle siehe Aufgabe.

4. Bei positivem ${}x$ hat ${}-x$ die Eigenschaft, dass die Summe

   ${}x+(-x)=0\,$

   ist, bei negativem ${}x$ mit ${}x=-a$ mit ${}a\in \mathbb {N}$ erfüllt ${}a$ die Eigenschaft.

$\Box$