Ganze Zahlen/Operation auf R/Periodische Funktion/Aufgabe/Lösung

a) Zu eienr stetigen Funktion $f$ und  $n\in \mathbb{Z}$  ist $(f\bullet n)$ diejenige stetige Funktion, die durch

$(f\bullet n)(x):=f(x+n)$

gegeben ist.

b) Es ist

$\begin{array}{cc}(x^2-3x+5)\bullet 4& =(x+4{)}^2-3(x+4)+5\\ & =x^2+8x+16-3x-12+5\\ & =x^2+5x+9.\end{array}$

c) Invarianz liegt genau dann vor, wenn

$f(x)=f(x+n)$

für alle  $x\in ℝ$  und  $n\in \mathbb{Z}$  gilt. Solche Funktionen nennt man periodisch (mit Periodenlänge $1$). Typische Beispiele sind die (gestauchten) trigonometrischen Funktionen wie $\sin 2\pi x$.

d) Wenn $f$ ein Polynom und invariant unter der Operation, so besitzt insbesondere $f(n)$ den gleichen Wert $a$ für jedes  $n\in \mathbb{Z}$.  Dann sind alle ganze Zahlen Nullstellen des Polynoms $f-a$. Doch dann ist

$f-a=0$

das Nullpolynom, also ist $f$ konstant gleich $a$.

Zur gelösten Aufgabe