Ganze Zahlen/Operation auf R/Periodische Funktion/Aufgabe/Lösung

a) Zu eienr stetigen Funktion ${}f$ und  ${}n\in \mathbb {Z}$  ist ${}(f\bullet n)$ diejenige stetige Funktion, die durch

${}(f\bullet n)(x):=f(x+n)\,$

gegeben ist.

b) Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(x^{2}-3x+5\right)}\bullet 4&=(x+4)^{2}-3(x+4)+5\\&=x^{2}+8x+16-3x-12+5\\&=x^{2}+5x+9.\end{aligned}}$

c) Invarianz liegt genau dann vor, wenn

${}f(x)=f(x+n)\,$

für alle  ${}x\in \mathbb {R}$  und  ${}n\in \mathbb {Z}$  gilt. Solche Funktionen nennt man periodisch (mit Periodenlänge ${}1$). Typische Beispiele sind die (gestauchten) trigonometrischen Funktionen wie ${}\sin 2\pi x$.

d) Wenn ${}f$ ein Polynom und invariant unter der Operation, so besitzt insbesondere ${}f(n)$ den gleichen Wert ${}a$ für jedes  ${}n\in \mathbb {Z}$.  Dann sind alle ganze Zahlen Nullstellen des Polynoms ${}f-a$. Doch dann ist

${}f-a=0\,$

das Nullpolynom, also ist ${}f$ konstant gleich ${}a$.

Zur gelösten Aufgabe