Ganzer Zahlbereich/Normal/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$ den Ring der ganzen Zahlen in ${}L$. Solche Ringe nennt man auch Zahlbereiche.

Den endlichen Erweiterungskörper ${}L$ von ${}\mathbb {Q}$ nennt man übrigens einen Zahlkörper. Diese Zahlbereiche sind der Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. Wir interessieren uns in der algebraischen Zahlentheorie insbesondere für folgende Fragen.

1. Wann ist ein Zahlbereich ${}R$ ein Hauptidealbereich und wann ist er faktoriell?
2. Wenn ${}R$ kein Hauptidealbereich ist, gibt es dann andere Versionen, die die eindeutige Primfaktorzerlegung ersetzen? (Ja: Lokal und auf Idealebene, siehe Fakt, Fakt, Bemerkung einerseits und Fakt andererseits.)
3. Wenn ${}R$ kein Hauptidealbereich ist, kann man dann die Abweichung von der Eigenschaft, ein Hauptidealbereich zu sein, in irgendeiner Form messen? (Ja: Durch die sogenannte Klassengruppe. Siehe Fakt und Fakt.)
4. Was passiert mit den Primzahlen in den Zahlbereichen? Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie diese in ${}R$ zerlegt werden? (siehe Fakt.)
5. Was kann man über die Einheiten in einem Zahlbereich sagen? (Siehe Fakt.)
6. Inwiefern reflektieren Eigenschaften von Zahlbereichen Eigenschaften der ganzen Zahlen selbst?

Satz

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich.

Dann ist ${}R$ ein normaler Integritätsbereich.

Beweis

Nach Fakt ist ${}L$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings ${}R$. Ist ${}q\in Q(R)=L$ ganz über ${}R$, so ist ${}q$ nach Aufgabe auch ganz über ${}\mathbb {Z}$ und gehört selbst zu ${}R$.

$\Box$

Ein Ganzheitsring ist im Allgemeinen nicht faktoriell.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und es sei ${}R\subseteq L$ ein Unterring mit den folgenden Eigenschaften:

1. ${}R$ ist ganz über ${}\mathbb {Z}$.
2. Es ist ${}Q(R)=L$.
3. ${}R$ ist normal.

Dann ist ${}R$ der Ring der ganzen Zahlen von ${}L$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$, der die Ringe

${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=A\subseteq \mathbb {Z} [\omega ]=B\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\,$

enthält, wobei ${}\omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}$ ist, d.h. ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ist der Ring der Eisenstein-Zahlen. Der Quotientenkörper von beiden Ringen ist ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$. Das Element ${}\omega$ erfüllt die Ganzheitsgleichung

${}\omega ^{2}+\omega +1=0\,,$

und somit ist ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ ganz über ${}\mathbb {Z}$. Ferner ist ${}\mathbb {Z} [\omega ]$ normal. Dies ergibt sich aus Fakt, Fakt, Fakt und Fakt. Nach Fakt ist also insgesamt der Ring der Eisenstein-Zahlen der Ring der ganzen Zahlen in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$.