Garbe/Untergarbe/Halmweise Zugehörigkeit/Aufgabe/Lösung

Die halmweise Zugehörigkeit ${}t_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$ bedeutet, dass es offene Umgebungen ${}P\in U_{P}$ und Schnitte ${}s_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{P}\right)}\subseteq {\mathcal {G}}{\left(U_{P}\right)}$ gibt, die auf ${}t_{P}$ einschränken. Dies bedeutet, dass es eine offene Umgebung ${}P\in V_{P}\subseteq U_{P}$ gibt, auf der die Einschränkungen von ${}t$ und ${}s_{P}$ (als Schnitte von ${}{\mathcal {G}}$) übereinstimmen. Es gibt also eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,$

derart, dass ${}t{|}_{V_{i}}\in {\mathcal {F}}{\left(V_{i}\right)}\subseteq {\mathcal {G}}{\left(V_{i}\right)}$. Da diese Schnitte verträglich sind (sowohl in ${}{\mathcal {G}}$ als auch in ${}{\mathcal {F}}$), gibt es einen Schnitt ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}$, der auf die Schnitte ${}t{|}_{V_{i}}$ einschränkt. Da es bei einer Garbe nur eine einzige globale Realisierung eines verträglichen Tupels gibt, folgt ${}s=t$ in ${}{\mathcal {G}}$, also ist

${}t\in {\mathcal {F}}{\left(X\right)}$.

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