Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/Textabschnitt

Aus Fakt können wir problemlos ableiten, wie sich die Primzahlen in $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ verhalten:

Korollar

Die Primzahlen aus $\mathbb{Z}$ haben in $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ folgendes Zerlegungsverhalten.

a) Es ist

$2=-\mathrm{i}(1+\mathrm{i}{)}^2,$

und $1+\mathrm{i}$ ist prim in $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$.

b) Für  $p=1mod4$  ist

$p=(x+y\mathrm{i})(x-y\mathrm{i}),$

mit gewissen eindeutig bestimmten  $x,y\in {\mathbb{N}}_{+}$,  wobei beide Faktoren prim sind.

c) Für  $p=3mod4$  ist $p$ prim in $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$.

Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es im zweiten Fall eine Darstellung

$p=x^2+y^2=(x+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}y)$

Wegen

$p^2=N(p)=N(x+y\mathrm{i})N(x-y\mathrm{i})$

haben die beiden Faktoren die Norm $p$ und sind deshalb nach Fakt prim. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring der Gaußschen Zahlen und der Kenntnis der Einheiten.

$◻$

Bemerkung  

Für eine Gaußsche Zahl  $z\in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$  kann man folgendermaßen entscheiden, ob sie prim ist bzw. wie ihre Primfaktorzerlegung aussieht:

1. Berechne die Norm $N(z)$. Ist diese eine Primzahl, so ist nach Fakt das Element $z$ selbst prim.
2. Bestimme die (ganzzahligen) Primfaktoren von $N(z)$. Schreibe

   $N(z)=z\bar{z}=2^r{p}_1\cdots p_s{q}_1\cdots q_t,$

   wobei die $p_i$ ungerade mit Rest $1$ modulo $4$ und die $q_j$ ungerade mit Rest $3$ modulo $4$ seien.

3. Schreibe  $p_i=N(u_i)=u_i\overline{u_i}$  für die Primfaktoren $p_i$ mit Rest $1$ modulo $4$, und  $2^r=(-\mathrm{i}{)}^r(1+\mathrm{i}{)}^{2r}$.  Damit ist

   $z\bar{z}=(-\mathrm{i}{)}^r(1+\mathrm{i}{)}^{2r}{u}_1\overline{u_1}\cdots u_s\overline{u_s}{q}_1\cdots q_t.$

4. Liste die möglichen Primfaktoren von $z$ (und zugleich von $\bar{z}$) auf: das sind $1+\mathrm{i}$ (falls $2$ mit positivem Exponenten vorkommt), die $u_i$ und $\overline{u_i}$ sowie die $q_j$ (da $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ ein Hauptidealbereich ist und somit nach Fakt die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt, setzt sich die Primfaktorzerlegung von $z$ und von $\bar{z}$ bis auf Einheiten aus Primfaktoren der rechten Seite zusammen).
5. Durch $(1+\mathrm{i}{)}^r$ und die $q_j$ kann man sofort durchdividieren, da diese Faktoren jeweils sowohl von $z$ als auch von $\bar{z}$ ein Faktor sind.
6. Für die möglichen Primfaktoren $u_i$ und $\overline{u_i}$ muss man (durch Division mit Rest) überprüfen, ob sie Primfaktoren von $z$ sind oder nicht (wenn nicht, so teilen sie $\bar{z}$). Statt Division kann man auch die möglichen Kombinationen ausmultiplizieren.

Beispiel

Es ist

$N(17+13\mathrm{i})=17^2+13^2=289+169=458=2\cdot 229,$

wobei $229$ eine Primzahl ist. Wegen

$229=225+4=15^2+2^2$

besitzt $229$ in $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ die Primfaktorzerlegung

$229=(15+2\mathrm{i})(15-2\mathrm{i})$

und somit ergibt sich die Primfaktorzerlegung

$17+13\mathrm{i}=(1+\mathrm{i})(15-2\mathrm{i}).$