Gaugefunktional/Schnittmengenlemma

Einleitung

In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) wird gezeigt, dass es eine Nullumgebungsbasis $\{U_{\alpha }:\alpha \in 𝒜\}$ aus kreisförmigen Mengen $U_{\alpha }$. Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale.

Schnitte von Nullumgebungen

Die Schnitte $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ von Nullumgebungen $U_{\alpha },U_{\beta }$ liefert das Minkowski-Funktionale des Schnitts $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ ein topologieerzeugendes Funktional. kreisförmiger Nullumgebungen $U_{\alpha },U_{\beta }$ wird das Schnittmengenlemma zeigen, dass auch der Schnitt $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ kreisförmig ist, damit das Minkowski-Funktional auch absolut homogen ist. Das wird in dem Schnittmengenlemma auch auf konvexe, bzw. pseudokonvexe Mengen übertragen.

Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen

Das Schnittmengenlemma für topologischen Vektorräumen und damit auch topologischen Algebren wird zunächst für ein Nullumgebungsbasis $\{U_{\alpha }:\alpha \in 𝒜\}$ aus kreisförmigen Mengen $U_{\alpha }$ gezeigt, um mit der Kreisförmigkeiten auch die absolute Homogenität der Gaugefunktionale zu erhalten. Halbnormen, $p$-Halbnormen oder auch Quasinormen haben weitere Eigenschaften, die auch auf den Schnitt übertragen werden müssen, damit das Minkowski-Funktional für den Schnitt ebenfalls die Eigenschaft besitzt.

Lemma - Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen

Seien $U_{\alpha },U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ kreisförmige Nullumgebungen in einem topologischen Vektoraum $(V,𝒯)$, dann ist auch $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ eine kreisförmige Nullumgebung. Das Minkowski-Funktional $p_{{}_U}$ von $U:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ ist damit auch absolute homogen:

$\underset{x\in V}{\mathrm{\forall }}\underset{\lambda \in 𝕂}{\mathrm{\forall }}{p}_{{}_U}(\lambda \cdot x)=|\lambda |\cdot p_{{}_U}(x)$

Beweis

Aus $U_{\alpha },U_{\beta }\subset V$ kreisförmig folgt, dass für alle $\lambda \in 𝕂$ mit $|\lambda |\le 1$, $x_{\alpha }\in U_{\alpha }$ und $x_{\beta }\in U_{\beta }$ auch $\lambda \cdot x_{\alpha }\in U_{\alpha }$ und $\lambda \cdot x_{\beta }\in U_{\beta }$.

Schnitt von offenen Mengen

In einem topologischen Raum (also insbesondere auch in einem topologischen Vektorraum) $(V,𝒯)$ ist nach dem Aximon (T2) der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen, also $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in 𝒯$ (siehe Normen, Metriken, Topologie). Da $U_{\alpha },U_{\beta }$ Nullumgebung sind, gilt auch $0_{{}_V}\in U_{\alpha },0_{{}_V}\in U_{\beta }$. Damit ist $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ eine offen Menge, die den Nullvektor enthält und es gilt $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_{{}_V})$.

Schnitt kreisförmig

Wir zeigen nun noch, dass $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ kreisförmig ist. Sei dazu $x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ und $\lambda \in 𝕂$ mit $|\lambda |\le 1$ beliebig gewählt. Damit gilt $x\in U_{\alpha }$ und $x\in U_{\beta }$. Die Kreisförmigkeit von $U_{\alpha }$ und $U_{\beta }$ liefert dann $\lambda \cdot x\in U_{\alpha }$ und $\lambda \cdot x\in U_{\beta }$ und damit auch $\lambda \cdot x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$. $◻$

Absolute Homogenität

Sei $p_{{}_U}:V\to {ℝ}_o^{+}$ das Minkowski-Funktional der kreisförmigen Menge $U:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }$. Zu zeigen ist nun, dass $p_{{}_U}$ absolut homogen ist.

Lemma - Schnitt konvexen Nullumgebungen

Seien $U_{\alpha },U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ konvexe Nullumgebungen in einem topologischen Vektoraum $(V,𝒯)$, dann ist auch $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_V)$ eine konvexe Nullumgebung. Das Minkowski-Funktional $p_{{}_U}$ von $U:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ ist damit auch subadditiv bzw. erfüllt die Dreiecksungleichung:

$\underset{x,y\in V}{\mathrm{\forall }}{p}_{{}_U}(x+y)\le p_{{}_U}(x+y)$

Beweis - konvexe Nullumgebungen

Aus $U_{\alpha },U_{\beta }\subset V$ konvex folgt, dass für alle $\lambda \in 𝕂$ mit $\lambda \in [0,1]$, $x_{\alpha },y_{\alpha }\in U_{\alpha }$ und $x_{\beta },y_{\beta }\in U_{\beta }$ auch

$(1-\lambda )\cdot x_{\alpha }+\lambda \cdot y_{\alpha }\in U_{\alpha }\text{ und }(1-\lambda )\cdot x_{\beta }+\lambda \cdot y_{\beta }\in U_{\beta }$.

Schnitt von offenen konvexen Mengen

In einem topologischen Raum (also insbesondere auch in einem topologischen Vektorraum) $(V,𝒯)$ ist nach dem Aximon (T2) der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen, also $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in 𝒯$ (siehe Normen, Metriken, Topologie). Da $U_{\alpha },U_{\beta }$ Nullumgebung sind, gilt auch $0_{{}_V}\in U_{\alpha },0_{{}_V}\in U_{\beta }$. Damit ist $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ eine offen Menge, die den Nullvektor enthält und es gilt $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {𝔘}_{𝒯}(0_{{}_V})$.

Schnitt konvexer Mengen

Wir zeigen nun noch, dass $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ konvex ist. Seien dazu $x,y\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ und $\lambda \in 𝕂$ mit $\lambda \in [0,1]$ beliebig gewählt. Damit gilt $x\in U_{\alpha }$ und $x\in U_{\beta }$. Die Konvexität von $U_{\alpha }$ und $U_{\beta }$ liefert dann

$(1-\lambda )\cdot x+\lambda \cdot y\in U_{\alpha }\text{ und }(1-\lambda )\cdot x+\lambda \cdot y\in U_{\beta }$.

und damit auch $(1-\lambda )\cdot x+\lambda \cdot y\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$. $◻$

Siehe auch

• Dreiecksungleichung
• Gaugefunktional
• Minkowski-Funktional
• Topologisierungslemma
• Umgebung (Mathematik)
• Kurs:Funktionalanalysis