Kurs:Funktionentheorie/Gebiet

Einleitung

Ein Gebiet $G$ ist eine offene und wegzusammenhängende Menge in den komplexen Zahlen. Die Offenheit der Menge ist in der Funktionentheorie wesentlich, damit um jeden Punkt $z_{o}\in G$ eine Umgebung $U:=D_{r}(z_{0}):=\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z-z_{o}|<r\}$ existiert, die ganz in $G$. Die Eigenschaft "wegzusammenhängend" zu sein, ist für zentrale Aussagen aus der Funktionentheorie notwendig. So wäre die Aussage des Identitätssatzes ohne den Wegzusammenhang nur für die Zusammenhangskomponente gültig, und nicht dem gesamten Definitionsbereich der holomorphen Funktion.

Definition - wegzusammenhängend

Eine Teilmenge $G\subset \mathbb {C}$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zwei beliebige Punkte $z_{1},z_{2}\in G$ eine stetige Abbildung $\gamma :[a,b]\to G$ gibt, mit $\gamma (a)=z_{1}$ und $\gamma (b)=z_{2}$.

Definition - Gebiet

Eine Teilmenge $G\subset \mathbb {C}$ heißt Gebiet, wenn $G$:

• offen und
• wegzusammenhängend ist.

Siehe auch

• Wegintegral
• offene Menge - Topologie