Geometrisches Vektorbündel/Lokal freie Garbe/Korrespondenz/Textabschnitt

Definition

Zu einem geometrischen Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$ auf einem Schema ${}X$ nennt man die zu einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ durch

${}\Gamma (U,{\mathcal {F}})={\left\{s:U\rightarrow V{|}_{U}{\text{ Schemamorphismus}}\mid p\circ s=\operatorname {Id} _{U}\right\}}\,$

definierte Garbe ${}{\mathcal {F}}$ die Garbe der Schnitte in ${}V$.

Lemma

Zu einem geometrischen Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$

ist die Garbe der Schnitte ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe.

Beweis

Durch die Addition

$V\times _{X}V\longrightarrow V$

gibt es aufgrund von Aufgabe eine wohldefinierte Addition auf der Garbe der Schnitte, wodurch ${}{\mathcal {F}}$ wegen Aufgabe zu einer Garbe von kommutativen Gruppen wird. Durch die Skalarmultipliaktion

${\mathbb {A} }_{X}^{1}\times _{X}V\longrightarrow V$

erhält man eine ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulstruktur auf ${}{\mathcal {F}}$. Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ mit ${}V{|}_{U}\cong {{\mathbb {A} }_{}^{r}}_{U}$ ist

${}{\mathcal {F}}{|}_{U}\cong {\left({\mathcal {O}}_{X}{|}_{U}\right)}^{r}\,$

und ${}{\mathcal {F}}$ ist lokal frei.

$\Box$

Geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben sind im Wesentlichen äquivalente Objekte.

Satz

Auf einem Schema

entsprechen sich geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben. Ferner entsprechen sich Vektorbündelhomomorphismen und ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismen.

Einem geometrischen Vektorbündel ${}V$ über ${}X$ wird dabei die nach Fakt lokal freie Garbe der Schnitte ${}{\mathcal {S}}_{V}$ zugeordnet und einem Vektorbündelhomomorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ wird der Modulhomomorphismus ${}{\mathcal {S}}_{V}\rightarrow {\mathcal {S}}_{W}$ zugeordnet, der einen Schnitt ${}s\colon U\rightarrow V{|}_{U}$ auf den Schnitt ${}\varphi \circ s\colon U\rightarrow W{|}_{U}$ abbildet.

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass jede lokal freie Garbe isomorph zu einer Garbe der Schnitte in einem Vektorbündel ist. Eine lokal freie Garbe ${}{\mathcal {F}}$ vom Rang ${}r$ ist durch eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ (wobei wir die ${}U_{i}$ als affin annehmen können) und Isomorphismen

$\varphi _{i}\colon {\mathcal {O}}_{U_{i}}^{r}\longrightarrow {\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}$

gegeben. Die Hintereinanderschaltung

${\mathcal {O}}_{U_{i}}^{r}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}={\mathcal {O}}_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}{\stackrel {\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}{\longrightarrow }}{\mathcal {F}}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}{\stackrel {\varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}={\mathcal {O}}_{U_{j}}^{r}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

ist nach Fakt durch ${}e_{k}\mapsto f_{k}$ mit

${}f_{k}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}\right)}\,$

gegeben. Dabei ist ${}f_{k}=(f_{k\ell })_{1\leq \ell \leq r}$ mit

${}f_{k\ell }\in \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})\,.$

Ferner ist die Determinante der Matrix ${}{\left(f_{k\ell }\right)}_{k\ell }$ eine Einheit in ${}\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})$ Dies definiert über

$T_{k}\longmapsto \sum _{\ell =1}^{r}f_{k\ell }S_{\ell }$

einen linearen ${}\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})$-Algebraisomorphismus

$\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})[T_{1},\ldots ,T_{r}]\longrightarrow \Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})[S_{1},\ldots ,S_{r}]$

und einen Schemaisomorphismus

$\varphi _{ji}\colon {{\mathbb {A} }_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{U_{i}\cap U_{j}}^{r}},$

der von der in der Definition eines geometrischen Vektorbündels geforderten Form ist. Wir betrachten das Verklebungsdatum von beringten Räumen

$(W_{i}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}},\,W_{ij}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}{|}_{U_{j}}\subseteq W_{i},\,\varphi _{ji}:W_{ij}\longrightarrow W_{ji}).$

Die Kozykelbedingung ist dabei erfüllt, da die Daten von dem globalen Objekt ${}{\mathcal {F}}$ herrühren. Aufgrund von Fakt gibt es ein Schema ${}W$, das dieses Verklebungsdatum realisiert. Die lokalen Projektionen

$W_{i}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}\longrightarrow U_{i}$

verkleben dabei zu einem Schemamorphismus

$W\longrightarrow X.$

Aufgrund der Konstruktion handelt es sich um ein geometrisches Vektorbündel über ${}X$. Es sei ${}{\mathcal {S}}$ die Garbe der Schnitte zu ${}W$. Wir behaupten, dass es einen natürlichen Isomorphismus

${\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {S}}$

gibt. Wegen der Konstruktion gibt es natürliche Garbenisomorphismen

${\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {S}}{|}_{U_{i}}$

für jede offene Menge ${}U_{i}$, und deren Einschränkungen auf die Durchschnitte ${}U_{i}\cap U_{j}$ stimmen überein. Nach Fakt gibt es daher einen globalen Garbenhomomorphismus, und dieser ist nach Fakt ein Isomorphismus.

Die Injektivität der Zuordnung ergibt sich, da sich ein Vektorbündel (bis auf Isomomorphie) durch seine Garbe der Schnitte durch die beschriebene Konstruktion rekonstruieren lässt. Für die Aussage über die Homomorphismen siehe Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.

$\Box$

Die freie Garbe vom Rang ${}r$ entspricht unter dieser Äquivalenz dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{X}^{r}}$ über ${}X$.