Geordnete Menge/Extremalelemente/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element  ${}x\in I$  heißt maximal (in ${}I$) oder ein maximales Element (von ${}I$), wenn es kein Element ${}y\in I$, ${}y\neq x$, mit  ${}x\preccurlyeq y$  gibt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element  ${}x\in I$  heißt minimal (in ${}I$) oder ein minimales Element (von ${}I$), wenn es kein Element ${}y\in I$, ${}y\neq x$, mit  ${}y\preccurlyeq x$  gibt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element  ${}x\in I$  heißt größtes Element von ${}I$, wenn  ${}y\preccurlyeq x$  für jedes  ${}y\in I$  gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element  ${}x\in I$  heißt kleinstes Element von ${}I$, wenn  ${}x\preccurlyeq y$  für jedes  ${}y\in I$  gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und  ${}J\subseteq I$  eine Teilmenge. Ein Element  ${}s\in I$  heißt obere Schranke für ${}J$, wenn  ${}y\preccurlyeq s$  für jedes  ${}y\in J$  gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und  ${}J\subseteq I$  eine Teilmenge. Ein Element  ${}s\in I$  heißt untere Schranke für ${}J$, wenn  ${}s\preccurlyeq x$  für jedes  ${}x\in J$  gilt.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und  ${}J\subseteq I$  eine Teilmenge. Ein Element  ${}s\in I$  heißt Supremum von ${}J$, wenn ${}s$ die kleinste obere Schranke von ${}J$ ist.

Definition

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und  ${}J\subseteq I$  eine Teilmenge. Ein Element  ${}s\in I$  heißt Infimum von ${}J$, wenn ${}s$ die größte untere Schranke von ${}J$ ist.