Geordnete Menge/N/Gemeinsamer Teiler und Vielfaches/Textabschnitt
Wir besprechen einige weitere Teilbarkeitsbegriffe und erfassen sie mit unserem ordnungstheoretischen Vokabular.
Es seien natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl gemeinsamer Teiler der , wenn jedes teilt ().
Eine natürliche Zahl heißt größter gemeinsamer Teiler der , wenn ein gemeinsamer Teiler ist und wenn jeder gemeinsame Teiler dieses teilt.
Die Elemente heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler ist.
Ein gemeinsamer Teiler ist eine untere Schranke von bezüglich der Teilbarkeitsrelation und der größte gemeinsame Teiler ist das Infimum davon.
Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
heißt eine natürliche Zahl ein gemeinsames Vielfaches, wenn ein Vielfaches von jedem ist, also von jedem geteilt wird.
Die Zahl heißt ein kleinstes gemeinsames Vielfaches der , wenn ein gemeinsames Vielfaches ist und wenn jedes andere gemeinsame Vielfache ein Vielfaches von ist.
Ein gemeinsames Vielfaches ist eine obere Schranke von und das kleinste gemeinsame Vielfache ist das Supremum davon.
Zu natürlichen Zahlen bildet die Menge aller gemeinsamer Teiler der eine endliche Menge, die bezüglich der Teilbarbeit geordnet ist. Dabei ist der größte gemeinsame Teiler in in der Tat das größte Element und ist der kleinste gemeinsame Teiler. Es ist keineswegs selbstverständlich, dass es einen größten gemeinsamen Teiler gibt, das hängt mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung zusammen und folgt beispielsweise aus Fakt. Unter der Ordnungsrelation gibt es in natürlich ein größtes Element, es ist aber eine zahlentheoretische Besonderheit, dass dieses Element von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird.
Die Menge der gemeinsamen Vielfachen von ist unendlich und ist ebenfalls über die Teilbarkeit geordnet. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist darunter das kleinste Element, und zwar bezüglich der Teilbarkeitsrelation als auch bezüglich der Größergleichrelation.
