Gitter/Komplexe Zahlen/j-Invariante/Einführung/Textabschnitt

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Es sei ein Gitter. Ausgehend von den Eisenstein-Reihen legt man weitere Invarianten zu fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig(er), wenn man die algebraische Gleichung für die zugehörige ellitpische Kurve berücksichtigt.


Definition  

Es sei ein Gitter. Wir setzen

und

wobei und die Eisenstein-Reihen sind.


Definition  

Es sei ein Gitter. Wir setzen

und nennen dies die Diskriminante des Gitters .


Definition  

Es sei ein Gitter. Man nennt

die absolute Invariante oder die -Invariante des Gitters .

Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der -Invarianten oder der universellen Invarianten.

Bemerkung  

Für ein Gitter der Form setzt man , , und .




Lemma  

Für ein Gitter und gelten die folgenden Regeln.

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist
  4. Es ist

Beweis  

Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Fakt  (4). Daraus ergeben sich auch die beiden anderen Aussagen.




Lemma  

Zwei Gitter und

sind genau dann streckungsäquivalent, wenn gilt.

Beweis