Gitter/Komplexe Zahlen/j-Invariante/Einführung/Textabschnitt
Es sei ein Gitter. Ausgehend von den Eisensteinreihen legt man weitere Invarianten zu fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig(er), wenn man die algebraische Gleichung für den zugehörigen komplexen Torus (siehe Fakt) berücksichtigt.
Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der -Invarianten oder der universellen Invarianten.
Bemerkung
Für ein Gitter der Form setzt man , , und .
Lemma
Für ein Gitter und gelten die folgenden Regeln.
- Es ist
- Es ist
- Es ist
- Es ist
Beweis
Die ersten beiden Aussagen folgen direkt aus Fakt (4). Daraus ergeben sich auch die beiden anderen Aussagen.
Die Eigenschaft
Fakt (4)
besagt, dass die -Invariante von
streckungsäquivalenten Gittern
gleich ist.