Gitter/Komplexe Zahlen/j-Invariante/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}\Gamma \subset \mathbb {C}$ ein Gitter. Ausgehend von den Eisenstein-Reihen legt man weitere Invarianten zu ${}\Gamma$ fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig(er), wenn man die algebraische Gleichung für die zugehörige ellitpische Kurve ${}\mathbb {C} /\Gamma$ berücksichtigt.

Definition

Es sei ${}\Gamma \subset \mathbb {C}$ ein Gitter. Wir setzen

{}g_{2}=g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma )\,

und

{}g_{3}=g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma )\,,

wobei ${}G_{4}$ und ${}G_{6}$ die Eisenstein-Reihen sind.

Definition

Es sei ${}\Gamma \subset \mathbb {C}$ ein Gitter. Wir setzen

{}\Delta (\Gamma ):=g_{2}^{3}(\Gamma )-27g_{3}^{2}(\Gamma )\,

und nennen dies die Diskriminante des Gitters ${}\Gamma$ .

Definition

Es sei ${}\Gamma \subset \mathbb {C}$ ein Gitter. Man nennt

{}j(\Gamma ):={\frac {{\left(12g_{2}(\Gamma )\right)}^{3}}{\Delta (\Gamma )}}\,

die absolute Invariante oder die ${}j$ -Invariante des Gitters ${}\Gamma$ .

Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der ${}j$ -Invarianten oder der universellen Invarianten.

Bemerkung

Für ein Gitter der Form ${}\Gamma =\mathbb {Z} \tau \oplus \mathbb {Z} \subset \mathbb {C}$ setzt man ${}g_{2}(\tau )=g_{2}(\Gamma )$ , ${}g_{3}(\tau )=g_{3}(\Gamma )$ , ${}\Delta (\tau )=\Delta (\Gamma )$ und ${}j(\tau )=j(\Gamma )$ .

Lemma

Für ein Gitter ${}\Gamma \subset \mathbb {C}$ und ${}s\in \mathbb {C} ^{\times }$ gelten die folgenden Regeln.

Es ist
${}g_{2}(s\Gamma )=s^{-4}g_{2}(\Gamma )\,.$

Es ist
${}g_{3}(s\Gamma )=s^{-6}g_{s}(\Gamma )\,.$

Es ist
${}\Delta (s\Gamma )=s^{-12}\Delta (\Gamma )\,.$

Es ist
${}j(s\Gamma )=j(\Gamma )\,.$