Gl2 nach Gl3/Symmetrische Darstellung/Explizit/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige explizit, dass durch die Zuordnung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{3}\!{\left(K\right)},\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{pmatrix}},$

ein Gruppenhomomorphismus gegeben ist. Ist diese Abbildung injektiv?

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