Gl2 nach Gl3/Symmetrische Darstellung/Explizit/Aufgabe/Lösung

Es ist

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}) = (\begin{matrix} a e + b g & a f + b h \\ c e + d g & c f + d h \end{matrix}) .

Das Produkt der beiden Bildmatrizen ist

\begin{matrix} (\begin{matrix} a^{2} & 2 a b & b^{2} \\ a c & a d + b c & b d \\ c^{2} & 2 c d & d^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} e^{2} & 2 e f & f^{2} \\ e g & e h + f g & f h \\ g^{2} & 2 g h & h^{2} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} a^{2} e^{2} + 2 a b e g + b^{2} g^{2} & 2 a^{2} e f + 2 a b e h + 2 a b f g + 2 b^{2} g h & a^{2} f^{2} + 2 a b f h + b^{2} h^{2} \\ a c e^{2} + a d e g + b c e g + b d g^{2} & 2 a c e f + a d e h + a d f g + b c e h + b c f g + 2 b d g h & a c f^{2} + a d f h + b c f h + b d h^{2} \\ c^{2} e^{2} + 2 c d e g + d^{2} g^{2} & 2 c^{2} e f + 2 c d e h + 2 c d f g + 2 d^{2} g h & c^{2} f^{2} + 2 c d f h + d^{2} h^{2} \end{matrix}) . \end{matrix}

Das Bild der Produktmatrix ist

\begin{matrix} (\begin{matrix} {(a e + b g)}^{2} & 2 (a e + b g) (a f + b h) & {(a f + b h)}^{2} \\ (a e + b g) (c e + d g) & (a e + b g) (c f + d h) + (a f + b h) (c e + d g) & (a f + b h) (c f + d h) \\ {(c e + d g)}^{2} & 2 (c e + d g) (c f + d h) & {(c f + d h)}^{2} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} a^{2} e^{2} + 2 a b e g + b^{2} g^{2} & 2 a^{2} e f + 2 a b e h + 2 a b f g + 2 b^{2} g h & a^{2} f^{2} + 2 a b f h + b^{2} h^{2} \\ a c e^{2} + a d e g + b c e g + b d g^{2} & a d e h + b c f g + 2 a c e f + a d f g + b c e h + 2 b d g h & a c f^{2} + a d f h + b c f h + b d h^{2} \\ c^{2} e^{2} + 2 c d e g + d^{2} g^{2} & 2 c^{2} e f + 2 c d e h + 2 c d f g + 2 d^{2} g h & c^{2} f^{2} + 2 c d f h + d^{2} h^{2} \end{matrix}), \end{matrix}

was übereinstimmt. Somit ist die Zuordnung mit der Verküpfung verträglich. Die Determinante der Bildmatrix ist

\begin{matrix} det (\begin{matrix} a^{2} & 2 a b & b^{2} \\ a c & a d + b c & b d \\ c^{2} & 2 c d & d^{2} \end{matrix}) & = a^{2} ((a d + b c) d^{2} - 2 b c d^{2}) - 2 a b (a c d^{2} - b c^{2} d) + b^{2} (2 a c^{2} d - c^{2} (a d + b c)) \\ = a^{2} d^{2} (a d - b c) - 2 a b c d (a d - b c) + b^{2} c^{2} (a d - b c) \\ = (a d - b c) (a^{2} d^{2} - 2 a b c d + b^{2} c^{2}) \\ = (a d - b c) {(a d - b c)}^{2} \\ = {(a d - b c)}^{3} . \end{matrix}

Daher werden invertierbare Matrizen auf invertierbare Matrizen geschickt und es liegt ein Gruppenhomomorphismus der allgemeinen linearen Gruppen vor. Die Abbildung ist nicht injektiv, da

(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

auf die Einheitsmatrix abgebildet wird.

Zur gelösten Aufgabe