Gl2 nach Gl3/Symmetrische Darstellung/Explizit/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}}\,.$

Das Produkt der beiden Bildmatrizen ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{2}&2ef&f^{2}\\eg&eh+fg&fh\\g^{2}&2gh&h^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}e^{2}+2abeg+b^{2}g^{2}&2a^{2}ef+2abeh+2abfg+2b^{2}gh&a^{2}f^{2}+2abfh+b^{2}h^{2}\\ace^{2}+adeg+bceg+bdg^{2}&2acef+adeh+adfg+bceh+bcfg+2bdgh&acf^{2}+adfh+bcfh+bdh^{2}\\c^{2}e^{2}+2cdeg+d^{2}g^{2}&2c^{2}ef+2cdeh+2cdfg+2d^{2}gh&c^{2}f^{2}+2cdfh+d^{2}h^{2}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$

Das Bild der Produktmatrix ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}{\left(ae+bg\right)}^{2}&2{\left(ae+bg\right)}{\left(af+bh\right)}&{\left(af+bh\right)}^{2}\\{\left(ae+bg\right)}{\left(ce+dg\right)}&{\left(ae+bg\right)}{\left(cf+dh\right)}+{\left(af+bh\right)}{\left(ce+dg\right)}&{\left(af+bh\right)}{\left(cf+dh\right)}\\{\left(ce+dg\right)}^{2}&2{\left(ce+dg\right)}{\left(cf+dh\right)}&{\left(cf+dh\right)}^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}e^{2}+2abeg+b^{2}g^{2}&2a^{2}ef+2abeh+2abfg+2b^{2}gh&a^{2}f^{2}+2abfh+b^{2}h^{2}\\ace^{2}+adeg+bceg+bdg^{2}&adeh+bcfg+2acef+adfg+bceh+2bdgh&acf^{2}+adfh+bcfh+bdh^{2}\\c^{2}e^{2}+2cdeg+d^{2}g^{2}&2c^{2}ef+2cdeh+2cdfg+2d^{2}gh&c^{2}f^{2}+2cdfh+d^{2}h^{2}\end{pmatrix}},\,\end{aligned}}$

was übereinstimmt. Somit ist die Zuordnung mit der Verküpfung verträglich. Die Determinante der Bildmatrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{pmatrix}}&=a^{2}{\left({\left(ad+bc\right)}d^{2}-2bcd^{2}\right)}-2ab{\left(acd^{2}-bc^{2}d\right)}+b^{2}{\left(2ac^{2}d-c^{2}{\left(ad+bc\right)}\right)}\\&=a^{2}d^{2}{\left(ad-bc\right)}-2abcd{\left(ad-bc\right)}+b^{2}c^{2}{\left(ad-bc\right)}\\&={\left(ad-bc\right)}{\left(a^{2}d^{2}-2abcd+b^{2}c^{2}\right)}\\&={\left(ad-bc\right)}{\left(ad-bc\right)}^{2}\\&={\left(ad-bc\right)}^{3}.\end{aligned}}$

Daher werden invertierbare Matrizen auf invertierbare Matrizen geschickt und es liegt ein Gruppenhomomorphismus der allgemeinen linearen Gruppen vor. Die Abbildung ist nicht injektiv, da ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ auf die Einheitsmatrix abgebildet wird.

Zur gelösten Aufgabe