Glatte Kurve/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Unter einem Weildivisor versteht man eine formale endliche Summe .


Definition  

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei , , ein Element des Funktionenkörpers. Man nennt den Hauptdivisor zu .


Definition  

Zwei Divisoren auf einer glatten Kurve heißen linear äquivalent, wenn ein Hauptdivisor ist.


Definition  

Es sei eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper mit Funktionenkörper . Dann nennt man die Restklassengruppe

die Divisorenklassengruppe von .


Definition  

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper . Zu einem Weildivisor auf ist der Grad als

definiert.



Definition  

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor auf nennt man

den zurückgezogenen Weildivisor.



Satz  

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

zwischen irreduziblen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Hauptdivisor auf mit , ,

stimmt der zurückgezogene Divisor mit dem Hauptdivisor zu auf überein.

Beweis  

Wegen der Nichtkonstanz gehört zu eine Körpererweiterung und zu jedem Punkt liegt ein kommutatives Diagramm

von injektiven Ringhomomorphismen vor, wobei in der ersten Zeile diskrete Berwertungsringe stehen. Wenn

mit einer Einheit und einer Ortsuniformisierenden gilt, so ist

mit einer Orstuniformisierenden von , woraus die Aussage folgt.




Korollar  

Es sei eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei der Funktionenkörper von . Es sei , , und

der nach Fakt zugehörige Morphismus zu einem Element .

Dann gilt für den zurückgezogenen Divisor

Beweis  

Der Funktionenkörper der projektiven Geraden ist mit . Die Erweiterung der Funktionenkörper ist durch

gegeben. Der Hauptdivisor zu ist . Daher folgt die Aussage aus Fakt.




Satz  

Es sei eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .

Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich .

Beweis  

Für konstant ist die Aussage klar. Sei also nicht konstant. Wir betrachten den zugehörigen endlichen Morphismus

vom Grad . Nach Fakt ist

Nach Fakt besitzen die beiden schematheoretischen Fasern beide die -Dimension und diese ist die Gesamtmultiplizität der Faser.


Divisorenklassengruppe vom Grad modulo Hauptdivisoren.


Definition  

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor auf nennt man

den vorgeschobenen Weildivisor.

Die entscheidende Eigenschaft ist, dass ein Punkt auf den Punkt abgebildet wird, dies legt den Gruppenhomomorphismus fest.



Lemma  

Es sei ein endlicher Morphismus vom Grad zwischen irreduziblen, glatten Kurven. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. Zu einem weiteren endlichen Morphismus ist .
  2. Zu einem Divisor auf ist
  3. Zu einem Weildivisor auf ist

Beweis  

(1) ist klar, bei (2) und (3) genügt es, die Aussagen für einen einzelnen Punkt zu zeigen. (2) ist dann klar, (3) folgt aus Fakt.




Lemma  

Es sei ein endlicher Morphismus vom Grad zwischen irreduziblen, glatten Kurven, die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper sei galoissch mit Galoisgruppe .

  1. Zu einem Weildivisor auf ist

    für .

  2. Zu ist
  3. Zu einem Hauptdivisor mit , , ist

    wobei die Norm bezeichnet.

Beweis  

Wegen der Endlichkeit der Abbildung operiert die Galoisgruppe auf , siehe Fakt. (1) folgt direkt aus der Funktorialität des Vorschubs. (2) ergibt sich unter Verwendung von Fakt  (3) und Fakt mit

(3). Es ist

In der Divisorengruppe zu gilt

und daher ist nach (1) und (2)

Da die Divisorengruppe torsionsfrei ist, folgt die Gleichheit.




Lemma  

Es sei ein endlicher Morphismus vom Grad zwischen irreduziblen, glatten Kurven.

Dann werden unter

Hauptdivisoren auf Hauptdivisoren abgebildet.

Insbesondere induziert der Morphismus einen Homomorphismus

der Divisorenklassengruppen.

Beweis  

Die Erweiterung der Funktionenkörper besitzt nach Fakt einen Zwischenkörper derart, dass separabel und rein-inseparabel ist. Dem entspricht eine Faktorisierung

Es genügt also, die Aussage für eine separable Kurvenabbildung und eine rein-inseparable Kurvenabbildung zu zeigen. Im zweiten Fall liegt eine Verknüpfung von Frobenius-Morphismen vor, für diese ist die Identität. Den separablen Fall kann man auf den Galoisfall zurückführen, der in Fakt  (3) behandelt wurde. Es sei insgesamt galoissch und mit einer weiteren Kurve endlich über . Wir betrachten also die Situation

Zu behaupten wir wieder

Es ist

Nach Fakt  (3), Fakt, Fakt  (3) und Gesetzen für die Norm ist