Glatte Kurve/Weildivisoren/Einführung/Textabschnitt

Eine rationale Funktion ${}\neq 0$ auf einer glatten Kurve ${}C$ besitzt in jedem Punkt ${}P$ eine Ordnung, die sich über die Ordnung im zugehörigen diskreten Bewertungsring ${}{\mathcal {O}}_{P}$ ergibt. Sie ist positiv, wenn dort eine Nullstelle vorliegt, und die negativ ist, wenn dort eine Polstelle vorliegt. Bis auf endlich viele Punkte ist die Ordnung gleich ${}0$, das Null- und Polstellenverhalten einer Funktion wird also vollständig dadurch beschrieben, dass einer endlichen Punktemenge ganze Zahlen zugeordnet sind. Man kann sich umgekehrt fragen, ob eine solche Vorgabe durch eine rationale Funktion realisiert werden kann. Dies ist die Idee der Weildivisoren.

Definition

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Unter einem Weildivisor versteht man eine formale endliche Summe ${}D=\sum _{P\in C}n_{P}P$.

Die Menge der Weildivisoren bildet eine Gruppe.

Definition

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}f\in Q(C)$, ${}f\neq 0$, ein Element des Funktionenkörpers. Man nennt ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{P\in C}\operatorname {ord} _{P}\,(f)P$ den Hauptdivisor zu ${}f$.

Definition

Zwei Divisoren ${}D,E$ auf einer glatten Kurve ${}C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ heißen linear äquivalent, wenn ${}D-E$ ein Hauptdivisor ist.

Lemma

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit Funktionenkörper ${}Q(C)$.

Dann ist die Zuordnung

$Q(C)^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} \,(C),\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit Funktionenkörper ${}Q(C)$. Dann nennt man die Restklassengruppe

${}\operatorname {DKG} {\left(C\right)}=\operatorname {Div} \,(C)/\operatorname {HDiv} \,(C)\,$

die Divisorenklassengruppe von ${}C$.

Definition

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zu einem Weildivisor ${}D=\sum _{P\in C}n_{P}P$ auf ${}C$ ist der Grad als

${}\operatorname {deg} {\left(D\right)}:=\sum _{P\in C}n_{P}\,$

definiert.