Glatte Kurve/Weildivisoren/Rückzug/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

$\phi :C_1⟶C_2$

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor  $D=\sum _P{a}_P\cdot P$  auf $C_2$ nennt man

${\phi }^{\ast }D:=\sum _{Q\in C_1}\mathrm{Verz}(Q|\phi (Q))a_{\phi (Q)}\cdot Q$

den zurückgezogenen Weildivisor.

Insbesondere gilt für einen Punkt  $P\in C$ 

${\phi }^{\ast }P=\sum _{Q\in {\phi }^{-1}(P)}\mathrm{Verz}(Q|P)\cdot Q.$

Die Abbildung

${\phi }^{\ast }:\mathrm{Div}\left(C_2\right)⟶\mathrm{Div}\left(C_1\right)$

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Satz

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

$\phi :C_1⟶C_2$

zwischen irreduziblen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Hauptdivisor  $D=\sum _P{a}_P\cdot P=\mathrm{div}\left(q\right)$  auf $C_2$ mit  $q\in Q(C_2)$,   $q\ne 0$, 

stimmt der zurückgezogene Divisor ${\phi }^{\ast }(D)$ mit dem Hauptdivisor zu  $q\in Q(C_1)$  auf $C_1$ überein.

Beweis

Wegen der Nichtkonstanz gehört zu $\phi$ eine Körpererweiterung  $Q(C_2)\subseteq Q(C_1)$  und zu jedem Punkt  $Q\in C_1$  liegt ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{cccc}{𝒪}_{C_2,\phi (Q)}& \stackrel{}{⟶}& {𝒪}_{C_1,Q}& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ Q(C_2)& \stackrel{}{⟶}& Q(C_1)& \end{array}$

von injektiven Ringhomomorphismen vor, wobei in der ersten Zeile diskrete Berwertungsringe stehen. Wenn

$q=u{\pi }_2^n$

mit einer Einheit  $u\in {𝒪}_{C_2,\phi (Q)}$  und einer Ortsuniformisierenden  ${\pi }_2\in {𝒪}_{C_2,\phi (Q)}$  gilt, so ist

$q=u{\pi }_2^n=u{\left(u^{\prime }{\pi }_1^{\mathrm{Verz}(Q|\phi (Q))}\right)}^n=u{u}^{\prime }{\pi }_1^{n\mathrm{Verz}(Q|\phi (Q))}$

mit einer Orstuniformisierenden ${\pi }_1$ von ${𝒪}_{C_1,Q}$, woraus die Aussage folgt.

$◻$

Die vorstehende Aussage sichert, dass

$\phi :C_1⟶C_2$

einen Gruppenhomomorphismus

$\mathrm{DKG}\left(C_2\right)⟶\mathrm{DKG}\left(C_1\right)$

induziert.

Korollar

Es sei $C$ eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $Q$ der Funktionenkörper von $C$. Es sei  $q\in Q$,   $q\notin K$,  und

$q:C⟶{\mathbb{P}}_K^1$

der nach Fakt zugehörige Morphismus zu einem Element  $q\in Q$. 

Dann gilt für den zurückgezogenen Divisor

$q^{\ast }((0)-(\mathrm{\infty }))=\mathrm{div}\left(q\right).$

Beweis

Der Funktionenkörper der projektiven Geraden  ${\mathbb{P}}_K^1=\mathrm{Proj}(K[X,Y])$  ist $K(t)$ mit  $t=\frac{Y}{X}$.  Die Erweiterung der Funktionenkörper ist durch

$K(t)⟶Q(C),t⟼q,$

gegeben. Der Hauptdivisor zu $t$ auf ${\mathbb{P}}_K^1$ ist  $(0)-(\mathrm{\infty })=(Y)-(X)$,  wobei zwei Beschreibungsmöglichkeiten für die Punkte verwendet wurden. Daher folgt die Aussage aus Fakt.

$◻$

Satz

Es sei $C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.

Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich $0$.

Beweis

Für  $q\ne 0$  konstant ist die Aussage klar. Es sei also $q$ nicht konstant. Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen endlichen Morphismus

$q:C⟶{\mathbb{P}}_K^1$

vom Grad $n$. Nach Fakt ist

$\mathrm{div}\left(q\right)=q^{\ast }((0)-(\mathrm{\infty }))=q^{\ast }(0)-q^{\ast }(\mathrm{\infty }).$

Nach Fakt besitzen die beiden schematheoretischen Fasern beide die $K$-Dimension $n$ und diese ist die Gesamtmultiplizität der Faser.

$◻$