Glatte projektive Kurve/Kanonische Regelfläche/Symmetrische Potenzen/Sequenz/Fakt

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve vom Geschlecht ${}g$ und es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{C}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\omega _{C}^{-1}=Der\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die nichttriviale kanonische Erweiterung.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Bei  ${}g\geq 1$  besitzt für eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {N}}$ von negativem Grad das Bündel

   ${\left(\operatorname {Sym} ^{q}{\left({\mathcal {E}}\right)}\right)}^{*}\otimes \omega ^{-q}\otimes {\mathcal {N}}$

   keinen globalen Schnitt.

2. Bei  ${}g\geq 1$  und für eine invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ von positivem Grad ist

   ${}h^{0}{\left(\operatorname {Sym} ^{q}{\left({\mathcal {E}}\right)}\otimes \omega ^{q}\otimes {\mathcal {L}}\right)}=h^{0}{\left(\operatorname {Sym} ^{q-1}{\left({\mathcal {E}}\right)}\otimes \omega ^{q}\otimes {\mathcal {L}}\right)}+h^{0}{\left({\mathcal {L}}\right)}\,.$

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen