Glatte projektive Kurve/Weildivisor/Grad/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zu einem Weildivisor ${}D=\sum _{P\in C}n_{P}P$ auf ${}C$ ist der Grad als

${}\operatorname {deg} {\left(D\right)}:=\sum _{P\in C}n_{P}\,$

definiert.

Ohne Beweis teilen wir den folgenden Satz mit.

Satz

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich ${}0$.

Daher faktorisiert der Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Div} \,(C)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,D\longmapsto \operatorname {deg} {\left(D\right)},$

durch die Divisorenklassengruppe von ${}C$. Daher ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition

Es sei ${}C$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$. Zu einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}C$ definiert man den Grad durch den Grad eines zugehörigen Weildivisors.

Dabei ist zugehörig so zu verstehen, dass dem Divisor ${}D$ die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{C}(D)$ entspricht, dass also effektive Divisoren den Schnitten in der Garbe entsprechen.