Glatte projektive Varietät/Symmetrische Potenzen/Endliche Erzeugtheit/Fakt

Es sei ${}X$ eine glatte projektive Varietät und ${}{\mathcal {H}}$ eine ample invertierbare Garbe. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf ${}X$. Es sei vorausgesetzt, dass es ein  ${}r\in \mathbb {Q}$  und ein  ${}c\in \mathbb {N}$  derart gibt, dass ${}Sym^{q}({\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {H}}^{m}$ für  ${}m\leq rq$  und alle  ${}q\neq 0$  keinen globalen Schnitt ${}\neq 0$ besitzt, aber ${}Sym^{q}({\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {H}}^{m}$ nichttriviale Schnitte für  ${}m\geq rq+c$  besitzt (für ${}q$ hinreichend groß).

Dann ist ${}\bigoplus _{q\in \mathbb {N} }\left(\bigoplus _{m}\Gamma (X,Sym^{q}({\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {H}}^{m})\right)$ nicht endlich erzeugt als ${}\bigoplus _{m\in \mathbb {N} }\Gamma (X,{\mathcal {H}}^{m})$-Algebra.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen