Glatte projektive Varietät/Symmetrische Potenzen/Endliche Erzeugtheit/Fakt

Es sei ${}X$ eine glatte projektive Varietät und ${}{\mathcal {H}}$ eine ample invertierbare Garbe. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf ${}X$. Es sei vorausgesetzt, dass es ein ${}r\in \mathbb {Q}$ und ein ${}c\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass ${}Sym^{q}({\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {H}}^{m}$ für ${}m\leq rq$ und alle ${}q\neq 0$ keinen globalen Schnitt ${}\neq 0$ besitzt, aber ${}Sym^{q}({\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {H}}^{m}$ nichttriviale Schnitte für ${}m\geq rq+c$ besitzt (für ${}q$ hinreichend groß).

Dann ist ${}\bigoplus _{q\in \mathbb {N} }{\left(\bigoplus _{m}\Gamma (X,Sym^{q}({\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {H}}^{m})\right)}$ nicht endlich erzeugt als ${}\bigoplus _{m\in \mathbb {N} }\Gamma (X,{\mathcal {H}}^{m})$-Algebra.

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