Glatte projektive ebene Kurve/Kanonische Regelfläche/Symmetrische Potenzen/Beispiel

Es sei  ${}C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$  eine glatte projektive Kure vom Grad  ${}\delta \geq 3$.  Es sei

${}\kappa _{q}=q(\delta -3)+1=q\delta -3q+1\,.$

Es ist

${}\omega _{C}={\mathcal {O}}(\delta -3)\,,$

durch Tensorierung mit

${}\omega ^{q}\otimes {\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(q\delta -3q+1)={\mathcal {O}}(\kappa _{q})\,$

erhalten wir

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\left(\operatorname {Sym} ^{q-1}{\left({\mathcal {E}}\right)}\right)}{\left(\kappa _{q}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\left(\operatorname {Sym} ^{q}{\left({\mathcal {E}}\right)}\right)}{\left(\kappa _{q}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}(1)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Es können nicht alle Schnitte von links kommen, die von links sind Eulerderivation mal Polynom. Wir nennen Schnitte in der Mitte, die nicht von links kommen, Koszuloperatoren. Solche muss es geben. Bei einem Twist weniger kommt alles von links, da dann rechts die Strukturgarbe steht und die Sequenz nicht spaltet (Charakteristik null). Wir behaupten, dass die globalen Schnitte ${}\Gamma (C,{\left(\operatorname {Sym} ^{q}{\left({\mathcal {E}}\right)}\right)}{\left(\kappa _{q}\right)})$ nicht alle von Produktschnitten erzeugt werden. Sie sind nicht alle Eulerderivation mal Polynom. Die nächste Möglichkeit ist ${}K_{1}\cdot K_{2}\cdots K_{s}$ mal Polynom mit Koszuloperatoren

${}K_{i}\in \Gamma (C,{\left(\operatorname {Sym} ^{q_{i}}{\left({\mathcal {E}}\right)}\right)}{\left(\kappa _{q_{i}}\right)})\,$

und  ${}q=q_{1}+\cdots +q_{s}$.  Doch deren Grad ist jeweils ${}q_{i}(\delta -3)+1$, und der Grad der Produktform ist daher

${}\sum _{i=1}^{s}{\left(q_{i}(\delta -3)+1\right)}=q(\delta -3)+s>q(\delta -3)+1\,.$