Gleichmäßige Stetigkeit/K/Einführung/Textabschnitt

Die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 1/x,$

ist stetig. In jedem Punkt ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ gibt es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit ${}f(B\left(x,\delta \right))\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)$. Dabei hängt das ${}\delta$ nicht nur von der Zielgenauigkeit ${}\epsilon$, sondern auch von ${}x$ ab. Je kleiner ${}x$ wird, desto steiler wird der Funktionsgraph und desto kleiner muss ${}\delta$ gewählt werden, damit das Bild der ${}\delta$-Umgebung innerhalb der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}f(x)$ landet. Es gibt natürlich auch Funktionen, bei denen man zu jedem ${}\epsilon$ ein ${}\delta$ findet, dass für alle ${}x$ die Stetigkeitseigenschaft sichert.

Definition

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Dann heißt ${}f$ gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle ${}x,x'\in T$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$.

Der Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig liegt also allein in der Reihenfolge der Quantoren. Das ${}\delta$, das es in beiden Konzepten zu einem vorgegebenen ${}\epsilon$ geben muss, hängt bei stetig nicht nur von ${}\epsilon$, sondern auch vom Punkt ${}x$ ab, bei gleichmäßig stetig dagegen nur von ${}\epsilon$.

Lemma

Eine stetige Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall

ist gleichmäßig stetig.

Beweis

 Wir nehmen an, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ mit der Eigenschaft, dass es für alle ${}\delta >0$ ein Punktepaar ${}x,y\in [a,b]$ mit ${}\vert {x-y}\vert \leq \delta$ und ${}\vert {f(x)-f(y)}\vert \geq \epsilon$ gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Punktepaar ${}x_{n},y_{n}\in [a,b]$ mit ${}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert \leq {\frac {1}{n}}$ und ${}\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge ${}x_{n}$ eine in ${}\mathbb {R}$ konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn ${}x$, wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert. Die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert nach Aufgabe ebenfalls gegen ${}x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen ${}f(x_{n})$ und ${}f(y_{n})$ gegen ${}f(x)$. Es sei nun ${}\epsilon '<{\frac {\epsilon }{2}}$. Dann ist für ${}n$ hinreichend groß sowohl ${}\vert {f(x_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$ als auch ${}\vert {f(y_{n})-f(x)}\vert \leq \epsilon '$. Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu ${}\vert {f(x_{n})-f(y_{n})}\vert \geq \epsilon$.

$\Box$