Graduierte Algebren/D/Charaktere und ihre homogenen Automorphismen/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra.

Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus

der Charaktergruppe von in die (homogene) -Automorphismengruppe von .

Wenn alle sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

Beweis  

Zu jedem Charakter

ist die durch

definierte Abbildung mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente und aus

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für (und insbesondere für ) ist ferner , so dass ein -Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere gegeben. Für ein homogenes Element ist

so dass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

so dass jedes ein -Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei gibt es ein mit . Nach Voraussetzung ist

sei also , . Damit ist , da eine Einheit ist. Also ist .



Beispiel  

Es sei ein Körper, und derart, dass irreduzibel ist. Dann ist nach Fakt und nach Fakt eine -graduierte Körpererweiterung.

Eine notwendige Voraussetzung für die Irreduzibilität von ist, dass in keine -te Wurzel besitzt, da sonst das Polynom sofort einen Linearfaktor besitzt. Bei oder ist diese Bedingung auch hinreichend. Bei und wenn die Charakteristik von nicht gleich ist, so ist und der nichttriviale Charakter

mit und definiert über Fakt den nichttrivialen -Körperautomorphismus mit (wobei die Restklasse von sei), also die Konjugation in der quadratischen Körpererweiterung .