Graduierte Algebren/D/Charaktere und ihre homogenen Automorphismen/Textabschnitt
Lemma
Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra.
Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus
der Charaktergruppe von in die (homogene) -Automorphismengruppe von .
Wenn alle sind, so ist diese Zuordnung injektiv.
Beweis
Zu jedem Charakter
definierte Abbildung mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente und aus
woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für
(und insbesondere für
)
ist ferner
,
so dass ein
-Algebrahomomorphismus
vorliegt.
Der triviale
(konstante)
Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere gegeben. Für ein homogenes Element ist
so dass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch
so dass jedes ein
-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Die
Injektivität
ergibt sich unter Verwendung von
Fakt
folgendermaßen. Bei
gibt es ein
mit
.
Nach Voraussetzung ist
sei also
, .
Damit ist
,
da eine
Einheit
ist. Also ist
.
Beispiel
Es sei ein Körper, und derart, dass irreduzibel ist. Dann ist nach Fakt und nach Fakt eine -graduierte Körpererweiterung.
Eine notwendige Voraussetzung für die Irreduzibilität von ist, dass in keine -te Wurzel besitzt, da sonst das Polynom sofort einen Linearfaktor besitzt. Bei oder ist diese Bedingung auch hinreichend. Bei und wenn die Charakteristik von nicht gleich ist, so ist und der nichttriviale Charakter
mit und definiert über Fakt den nichttrivialen -Körperautomorphismus mit (wobei die Restklasse von sei), also die Konjugation in der quadratischen Körpererweiterung .