Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Homogenes Ideal/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und

${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

eine

${}D$-graduierte ${}R$-Algebra. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$ heißt homogen, wenn zu ${}f\in {\mathfrak {a}}$ auch die homogenen Komponenten ${}f_{d}\in {\mathfrak {a}}$ sind.

Für ein homogenes Ideal liegt die Summenzerlegung

${}{\mathfrak {a}}=\bigoplus _{d\in D}{\mathfrak {a}}_{d}\,$

mit

${}{\mathfrak {a}}_{d}={\mathfrak {a}}\cap A_{d}\,$

vor.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$-graduierte ${}R$-Algebra. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$ ein homogenes Ideal.

Dann ist auch der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ ${}D$-graduiert.

Dabei ist

${}{\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{d}=R_{d}/{\mathfrak {a}}_{d}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$