Graph/Tensorprodukt/Projektionen/Homomorphismus/Aufgabe

Es seien ${}G=(V,E)$ und ${}H=(W,F)$ Graphen mit dem Tensorprodukt ${}G\otimes H$.

1. Zeige, dass die Projektionen

   $p_{G}\colon G\otimes H\longrightarrow G,\,(v,w)\longmapsto v,$

   und

   $p_{H}\colon G\otimes H\longrightarrow H,\,(v,w)\longmapsto w,$

   Graphhomomorphismen sind.

2. Zeige, dass Knotenpunkte ${}z_{1},z_{2}$ aus ${}G\otimes H$ genau dann miteinander durch eine Kante verbunden sind, wenn die beiden Projektionen jeweils durch eine Kante verbunden sind.
3. Es sei  ${}M=(P,K)$  ein weiterer Graph und seien Abbildungen ${}\varphi \colon P\rightarrow V$ und ${}\psi \colon P\rightarrow W$ gegeben mit der Produktabbildung ${}\varphi \times \psi \colon P\longrightarrow V\times W$, ${}p\longmapsto (\varphi (p),\psi (p))$. Zeige, dass ${}\varphi \times \psi$ genau dann ein Graphhomomorphismus ist, wenn ${}\varphi ,\psi$ Graphhomomorphismen sind.

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