Graph einer Funktion

Definition - Graph

Sei $f:\mathbb {D} \to \mathbb {W}$ eine Funktion mit dem Definitionsbereich $\mathbb {D}$ und dem Wertebereich $\mathbb {W}$ , dann ist der $Graph(f)$ eine Teilmenge von $\mathbb {D} \times \mathbb {W}$ , die wie folgt definiert ist:

Graph(f):=\left\{(x,y)\in \mathbb {D} \times \mathbb {W} \,:\,f(x)=y\right\}

Beispiel - Schulmathematik

Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren:

Definitionsbereich $\mathbb {D} :=\mathbb {R}$
Wertebereich $\mathbb {W} :=\mathbb {R}$
Abbildungsvorschrift $f(x)=x^{2}-1$

Standardnotation - Abbildung

In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten.

{\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &f(x)=x^{2}-1\end{array}}

Graph als Menge

Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von $\mathbb {D} \times \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{2}$ mit:

{\begin{array}{rcl}Graph(f)&:=&\left\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,:\,f(x)=y=x^{2}-1\right\}\\&=&\left\{(x,f(x))\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,:\,f(x)=x^{2}-1\right\}\\&=&\left\{(x,x^{2}-1)\,:\,x\in \mathbb {R} \right\}\\\end{array}}

Graph als Plot

In der Regel verbindet man mit Graph einen Plot einer Funktion (z.B. mit der Funktionsvorschrift $f(x)=x^{2}-1$ ).

In der Abbildung rechts ist der $Graph(f)$ die rot markierte Punktmenge im $\mathbb {R} ^{2}$ .

Mehrdimensionaler Definitionsbereich

Für die Definition einer Funktion sind 3 Elemente zu definieren:

Definitionsbereich $\mathbb {D} :=\mathbb {R} ^{2}$
Wertebereich $\mathbb {W} :=\mathbb {R}$
Abbildungsvorschrift $f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)$

Standardnotation

In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten.

{\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {R} ^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)\end{array}}

Graph als Menge

Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von $\mathbb {D} \times \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{3}$ mit:

{\begin{array}{rcl}Graph(f)&:=&\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,z=f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)\right\}\\&=&\left\{(x,y,f(x,y))\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,:\,f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)\right\}\\&=&\left\{{\bigg (}x,y,\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right){\bigg )}\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}\\\end{array}}

Graph als Plot

Der folgenden Graph der Funktion $f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right)$ wird in der folgenden Abbildung dargestellt

Mehrdimensionaler Wertebereich

Die folgende Funktion ist eine Kurve im $\mathbb {R} ^{2}$ mit einem Interval als Defintionsbereich. Der Wertebereich ist in diesem Beispiel zweidimensional gewählt, damit der Graph der Funktion als Teilmenge vom $\mathbb {R} ^{3}$ in einem 3D-Plot dargestellt werden kann.

Definitionsbereich $\mathbb {D} :=[0,6\pi ]\subset \mathbb {R}$
Wertebereich $\mathbb {W} :=\mathbb {R} ^{2}$
Abbildungsvorschrift $f(t)=(cos(t),sin(t))$

In der Standardnotation von Abbildungen sind diese 3 Elemente enthalten.

{\begin{array}{rrcl}f:&[0,6\pi ]&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\&t&\mapsto &f(t)=(cos(t),sin(t))\end{array}}

Der Graph der Funktion ist eine Teilmenge von $\mathbb {D} \times \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{3}$ mit:

{\begin{array}{rcl}Graph(f)&:=&\left\{(t,x,y)\in [0,6\pi ]\times \mathbb {R} ^{2}\,:\,(x,y):=f(t)=(cos(t),sin(t))\right\}\\&=&\left\{(t,f(t))\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\,:\,\in [0,6\pi ]\wedge f(t)=(cos(t),sin(t))\right\}\\&=&\left\{{\bigg (}t,\cos(t),\sin(t){\bigg )}\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,t\in [0,6\pi ]\subset \mathbb {R} \right\}\\\end{array}}

Visualisierung - Spur und Graph

Unterschied - Spur - Graph
Spur	Graph
Spur der Funktion	Graph der Funktion
Spur der Funktion $f(t)=(cos(t),sin(t))$ ist der Einheitskreis im $\mathbb {R} ^{2}$	Graph der Funktion $f(t):=(cos(t)sin(t))$ mit dem Definitionsbereich $\mathbb {D} :=[0,6\pi ]$

Unterschied - Spur und Graph

Die Spur $Spur(f)$ einer Kurve $f$ ist die Bildmenge der Funktion $f$ .

{\begin{array}{rcl}Spur(f)&=&\left\{f(t)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,t\in [0,6\pi ]\right\}\\&=&\left\{{\big (}\cos(t),\sin(t){\big )}\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,t\in [0,2\pi ]\right\}\\Graph(f)&=&\left\{{\bigg (}t,\cos(t),\sin(t){\bigg )}\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,t\in [0,6\pi ]\subset \mathbb {R} \right\}\\\end{array}}

Wenn man $t$ als Zeitpunkt interpretiert enthält der Graph das Argument $t$ der Funktion. Dadurch kann man mit dem Graphen rekonstruieren, an welchem Zeitpunkt $t$ die Funktion $f$ auf den "Ort" $f(t)\in \mathbb {R} ^{2}$ abgebildet hat. Mit der Spur der Funktion $f$ kann man lediglich feststellen, ob der Bildpunkt $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ als Bildpunkt der Funktion $f$ aufgetreten ist.