Gruppe/Darstellungstheorie/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe, ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein (endlichdimensionaler) ${}K$-Vektorraum. Einen Gruppenhomomorphismus

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

nennt man eine (endlichdimensionale) Darstellung (über ${}K$).

Man spricht auch von einer linearen Darstellung. Bei ${}V=K^{r}$ spricht man auch von einer Matrix-Darstellung. Das Bild der Darstellung ist eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Die Dimension des Vektorraumes ${}V$ nennt man auch die Dimension der Darstellung.

Eine Darstellung von ${}G$ in ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ ist das gleiche wie eine Operation von ${}G$ auf ${}V$. Die Darstellungstheorie einer gegebenen Gruppe beschäftigt sich mit der Menge aller möglichen Darstellungen zu dieser Gruppe.

Eine Darstellung

$\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

einer Gruppe in einen ${}K$-Vektorraum ${}V$ heißt treu, wenn ${}\rho$ injektiv ist.

Man interessiert sich hauptsächlich für die treuen Darstellungen. Wenn eine Darstellung der Gruppe ${}G$ nicht treu ist, so besitzt sie einen nichttrivialen Kern ${}H\subseteq G$, und es ergibt sich nach Fakt eine treue Darstellung der Restklassengruppe ${}G/H$.

Man unterscheide sorgfältig zwischen abstrakten intrinsischen Eigenschaften einer Gruppe und Eigenschaften, die mit ihrer Einbettung in die allgemeine lineare Gruppe zusammenhängen. Die Eigenschaften einer linearen Operation hängen von beiden ab.

Definition

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und ${}K$ ein Körper. Unter der regulären Darstellung von ${}G$ versteht man den Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(K^{G}\right)},\,\sigma \longmapsto {\left(e_{\tau }\mapsto e_{\sigma \tau }\right)}.$

Diese Darstellung ist die Verknüpfung des injektiven Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(G),\,\sigma \longmapsto {\left(\tau \mapsto \sigma \tau \right)},$

der auch im Satz von Cayley auftaucht, mit dem ebenfalls injektiven Gruppenhomomorphismus, der einer Permutation ${}\pi$ auf einer Menge ${}I$ (die im vorliegenden Fall ${}G$ ist) ihre lineare, durch ${}e_{i}\mapsto e_{\pi (i)}$ festgelegte Realisierung zuordnet. Insbesondere ist die reguläre Darstellung treu, und somit gibt es für jede endliche Gruppe überhaupt eine treue Darstellung. Es lässt sich also jede endliche Gruppe als Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Matrizen realisieren, und zwar über jedem Körper.