Gruppe/Exponent/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und  ${}x,y\in G$  Elemente der endlichen Ordnungen ${}n=\operatorname {ord} \,(x)$ und ${}m=\operatorname {ord} \,(y)$, wobei ${}n$ und ${}m$ teilerfremd seien.

Dann hat ${}xy$ die Ordnung ${}nm$.

Beweis

Es sei  ${}(xy)^{k}=1$.  Wir müsen zeigen, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}nm$ ist. Es ist

${}1=\left(x^{k}y^{k}\right)^{n}=x^{kn}y^{kn}=y^{kn}\,,$

da ja ${}n$ die Ordnung von ${}x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass ${}kn$ ein Vielfaches der Ordnung von ${}y$, also von ${}m$ sein muss. Da ${}n$ und ${}m$ teilerfremd sind, folgt aus Fakt, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}n$ ist, sodass ${}k$, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von ${}nm$ sein muss.

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Definition

Der Exponent ${}\exp \left(G\right)$ einer endlichen Gruppe ${}G$ ist die kleinste positive Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass  ${}x^{n}=1$  für alle  ${}x\in G$  ist.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche kommutative Gruppe und sei  ${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$,  wobei ${}\operatorname {exp} (G)$ den Exponenten der Gruppe bezeichnet.

Dann ist ${}G$ zyklisch.

Beweis

Es sei

${}n=\operatorname {ord} \,(G)=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$

die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist

${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {kgV} (\operatorname {ord} (x):\,x\in G)\,.$

Es sei ${}p_{i}$ ein Primteiler von ${}n$. Wegen

${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$

gibt es ein Element  ${}x\in G$,  dessen Ordnung ein Vielfaches von ${}p_{i}^{r_{i}}$ ist. Dann gibt es auch (in der von ${}x$ erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element ${}x_{i}$ der Ordnung ${}p_{i}^{r_{i}}$. Dann hat das Produkt  ${}x_{1}\cdots x_{k}\in G$  nach Fakt die Ordnung ${}n$.

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