Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

{\begin{matrix}F_{n-1}&{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}&F_{n}&{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}&F_{n+1}&\\\!\!\!\!\!\varphi _{n-1}\downarrow &&\!\!\!\!\!\varphi _{n}\downarrow &&\downarrow \varphi _{n+1}\!\!\!\!\!&&\\G_{n-1}&{\stackrel {e_{n}}{\longrightarrow }}&G_{n}&{\stackrel {e_{n+1}}{\longrightarrow }}&G_{n+1}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}

Dabei wird der Kern von ${}d_{n+1}$ unter ${}\varphi _{n}$ in den Kern von ${}e_{n+1}$ abgebildet. Unter dem Gruppenhomomorphismus

\varphi _{n}\colon \operatorname {kern} d_{n+1}\longrightarrow \operatorname {kern} e_{n+1}

wird das Bild von ${}d_{n}$ in das Bild von ${}e_{n}$ abgebildet. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

H_{n}(F_{\bullet })=\operatorname {kern} d_{n+1}/\operatorname {bild} d_{n}\longrightarrow H_{n}(G_{\bullet })=\operatorname {kern} e_{n+1}/\operatorname {bild} e_{n}.