Gruppe/Potenzen/Monoid bekannt/Textabschnitt

In einer (multiplikativ geschriebenen) Gruppe kann man Potenzen allgemeiner als in einem Monoid definieren, nämlich auch für negative ganze Zahlen im Exponenten. Wie in jedem Monoid bezeichnet zu  ${}a\in G$  und  ${}n\in \mathbb {N}$  der Ausdruck ${}a^{n}$ das ${}n$-fache Produkt von ${}a$ mit sich selbst, was  ${}a^{0}=1$  einschließt. Die Schreibweise ${}a^{-1}$ für das inverse Element zu ${}a$ reiht sich in die neue Potenzschreibweise ein. Für eine negative ganze Zahl ${}n$ mit  ${}n=-k$  und  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$  setzt man

${}a^{n}:={\left(a^{-1}\right)}^{k}\,.$

Dass dies die richtige Definition ist, zeigt sich darin, dass sich die Potenzgesetze aus Fakt in die neue Situation übertragen.

Lemma

Es sei ${}(G,1,\cdot )$ eine Gruppe und seien  ${}a,b\in G$.  Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für  ${}m,n\in \mathbb {Z}$. 

1. Es ist

   ${}{\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a\,.$

2. Es ist  ${}a^{-n}={\left(a^{-1}\right)}^{n}$  das inverse Element zu ${}a^{n}$.

3. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

4. ${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$

Beweis

(1) folgt aus Aufgabe, da ${}K\setminus \{0\}$ eine Gruppe ist. (2). Bei  ${}n\in \mathbb {N}$  ist die linke Gleichheit eine Definition und die Behauptung folgt aus

${}{\left(a^{-1}\right)}^{n}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}a\right)}^{n}=1^{n}=1\,.$

Daraus folgt auch die Aussage für negatives ${}n$. Für (3), (4) siehe Aufgabe.

$\Box$

In einer kommutativen Gruppe gilt für  ${}a,b\in G$  und  ${}n\in \mathbb {Z}$  wieder die Gleichheit

${}(ab)^{n}=a^{n}b^{n}\,,$

siehe Aufgabe.