Gruppe/Untergruppe/Z/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge  ${}H\subseteq G$  heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1.  ${}e\in H$. 
2. Mit  ${}g,h\in H$  ist auch  ${}g\circ h\in H$. 
3. Mit  ${}g\in H$  ist auch  ${}g^{-1}\in H$. 

In einer Untergruppe kann man also die Verknüpfung der Gruppe ausführen, man kann das Inverse nehmen und das neutrale Element gehört dazu. In additiver Schreibweise, bedeuten die Bedingungen einfach

1.  ${}0\in H$. 
2. Mit  ${}g,h\in H$  ist auch  ${}g+h\in H$. 
3. Mit  ${}g\in H$  ist auch das Negative  ${}-g\in H$. 

Beispielsweise bilden alle Vielfachen der ${}5$ innerhalb der ganzen Zahlen eine Untergruppe, die wir mit ${}\mathbb {Z} 5$ bezeichnen. Es ist ja

${}0=0\cdot 5\,,$

wenn  ${}g=5\cdot a$  und  ${}h=5\cdot b$  sind, so ist

${}h+g=5\cdot (a+b)\,$

nach dem Distributivgesetz und mit  ${}g=5\cdot a$  ist  ${}-g=5\cdot (-a)$.  Wir werden in Fakt, dass jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ diese Bauart hat.