Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe/Lösung

1. Wegen

   ${}a\cdot b\cdot c=1\,$

   sind ${}a$ und ${}b\cdot c$ invers zueinander, daher ist auch

   ${}b\cdot c\cdot a=1\,,$

   also ist ${}c\cdot a$ das Inverse von ${}b$.

2. Es seien ${}a,b$ zwei Elemente einer Gruppe mit  ${}a\cdot b\neq b\cdot a$  und sei

   ${}c:=b^{-1}\cdot a^{-1}\,,$

   so dass also

   ${}a\cdot b\cdot c=1\,$

   ist. Es ist dann

   ${}b\cdot a\cdot c=b\cdot a\cdot b^{-1}\cdot a^{-1}\neq 1\,,$

   da aus

   ${}b\cdot a\cdot b^{-1}\cdot a^{-1}=1\,$

   durch Multiplikation mit ${}a$ von rechts und dann mit ${}b$ von rechts

   ${}b\cdot a=a\cdot b\,$

   gelten müsste.

Zur gelösten Aufgabe