Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

1. Zu  ${}g\in G$  sei

   $\varphi _{g}\colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto gx,$

   die zugehörige Abbildung. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\varphi _{gh}(x)&=(gh)x\\&=g(hx)\\&=\varphi _{g}(hx)\\&=\varphi _{g}(\varphi _{h}(x))\\&=(\varphi _{g}\circ \varphi _{h})(x).\end{aligned}}$

   Daher ist die Zuordnung

   $G\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)},\,g\longmapsto \varphi _{g},$

   mit den Verknüpfungen verträglich. Ferner ist

   ${}\varphi _{e_{G}}(x)=e_{G}x=x\,,$

   also ist ${}\varphi _{e_{G}}$ die Identität. Für jedes  ${}g\in G$  ist

   ${}\varphi _{g}\circ \varphi _{g^{-1}}=\varphi _{gg^{-1}}=\varphi _{e_{G}}=\operatorname {Id} _{M}\,$

   (ebenso für die umgekehrte Reihenfolge) und daher ist ${}\varphi _{g}$ bijektiv. Also gehört ${}\varphi _{g}$ zur Permutationsgruppe ${}\operatorname {Perm} \,(M)$. Somit liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \varphi _{g},$

   vor.

2. Es ist

   ${}e_{G}x=\varphi (e_{G})(x)=\operatorname {Id} _{G}(x)=x\,$

   und

   ${}(gh)x=(\varphi (gh))(x)=(\varphi (g)\circ \varphi (h))(x)=(\varphi (g))((\varphi (h))(x))=g(hx)\,.$

   Also liegt eine Gruppenoperation vor.

Zur gelösten Aufgabe