Gruppenoperation/Kurzeinführung/Textabschnitt

Es sei $G$ eine zumeist multiplikativ geschriebene Gruppe mit neutralem Element $e$.

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Eine Abbildung

$G\times M⟶M,(g,x)⟼gx,$

heißt Gruppenoperation (von $G$ auf $M$), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.

1.  $ex=x$  für alle  $x\in M$. 
2.  $(gh)x=g(hx)$  für alle  $g,h\in G$  und für alle  $x\in M$. 

Man spricht auch von einer Aktion oder einer Wirkung der Gruppe $G$ auf $M$. Im Zusammenhang von Gruppenoperationen schreibt man die Gruppe zumeist multiplikativ, und ebenso schreibt man die Operation multiplikativ.

Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Man nennt zwei Elemente  $x,y\in M$ 

$G$-äquivalent (oder äquivalent unter $G$), wenn es ein  $g\in G$  mit  $y=gx$  gibt.

Diese Relation ist in der Tat eine Äquivalenzrelation, wie man sich direkt überlegen kann. Die Äquivalenzklassen bekommen einen eigenen Namen.

Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die Äquivalenzklassen auf $M$ zur $G$-Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.

Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Ein Punkt  $x\in M$  heißt Fixpunkt der Operation, wenn  $gx=x$  ist für alle  $g\in G$. 

Ein Element  $x\in M$  ist genau dann ein Fixpunkt der Operation, wenn die Bahn durch diesen Punkt einelementig ist.

Definition

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit

$M\mathrm{\setminus }G$

bezeichnet. Die Abbildung

$M⟶M\mathrm{\setminus }G,x⟼[x],$

wobei $[x]$ die Bahn durch $x$ bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.

Der Bahnenraum ist also einfach die Quotientenmenge der Äquivalenzrelation, die durch die Gruppenoperation festgelegt wird, und die angegebene Quotientenabbildung ist die zugehörige kanonische Projektion.