Hauptteilmodul/Differentialoperator/Auf Produkt von Differentialformen/Fakt

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra, es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ mit den zugehörigen Differentialen ${}df_{i}$. Es sei ${}E$ ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$.

Dann wirkt ${}E$, aufgefasst als Linearform auf ${}\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K})$ über die natürliche Abbildung

$\operatorname {Sym} ^{n}(\Omega _{R{|}K})\longrightarrow P_{R{|}K}^{n}$

durch

${}{\begin{aligned}E(df_{1}\cdots df_{n})&=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}E{\left(\prod _{i\in I}f_{i}\right)}\\\end{aligned}}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen