Hauptteilmodul/Verknüpfung von Derivationen/Beziehung zu symmetrischem Produkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\Psi (\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1})$ das Bild in ${}\operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}},R))$, in diesem Raum werden wir die Gleichheit nachweisen. Die Homomorphismen darin sind auf den symmetrischen Produkten zu Differentialformen ${}df$ festgelegt, da diese ${}\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}})$ erzeugen. Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$. Nach Fakt wird ${}df_{1}\cdots df_{n}$ unter einem Differentialoperator ${}E$ auf

$\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}E{\left(\prod _{i\in I}f_{i}\right)}$

abgebildet. Im vorliegenden Fall ${}E=\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}$ ist dies nach Fakt gleich

${}{\begin{aligned}&\,\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}(\delta _{n}\circ \cdots \circ \delta _{1}){\left(\prod _{i\in I}f_{i}\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}{\left(\prod _{i\notin I}f_{i}\right)}{\left(\sum _{\{1,\ldots ,n\}=A_{1}\uplus \ldots \uplus A_{m}}\delta _{A_{1}}(f_{i_{1}})\cdots \delta _{A_{m}}(f_{i_{m}})\right)}\\&=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}(-1)^{\#\left(I\right)}\sum _{\{1,\ldots ,n\}=B_{1}\uplus \ldots \uplus B_{n}{\text{ mit }}B_{i}=\emptyset {\text{ für }}i\notin I}\delta _{B_{1}}(f_{1})\cdots \delta _{B_{n}}(f_{n})\\&=\sum _{\{1,\ldots ,n\}=B_{1}\uplus \ldots \uplus B_{n}}{\left(\sum _{I\subseteq I(B)}(-1)^{\#\left(I\right)}\right)}\delta _{B_{1}}(f_{1})\cdots \delta _{B_{n}}(f_{n}),\end{aligned}}$

wobei hier zu einer geordneten Partition ${}B=(B_{1},\ldots ,B_{n})$ die Menge der Indizes ${}i$, für die ${}B_{i}$ leer ist, mit ${}I(B)$ bezeichnet wird. In der ersten Gleichung können wir den Summand zu ${}I=\emptyset$, dem keine Partition entspricht, weglassen, da jede Derivation die ${}1$ annulliert.

Bei ${}I(B)\neq \emptyset$ ist die innere Summe stets ${}0$, bei ${}I(B)=\emptyset$ ist die innere Summe gleich ${}1$. Daher sind nur die Partitionen relevant, wo keine Teilmenge leer ist, wo also sämtliche Teilmengen einelementig sind. Diese entsprechen genau den Permutationen auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$, der Ausdruck ist also gleich

$\sum _{\pi \in S_{n}}\delta _{\pi (1)}(f_{1})\cdots \delta _{\pi (n)}(f_{n}).$

Das symmetrische Produkt ${}\delta _{n}\cdots \delta _{1}\in \operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Der} _{K}(R,R))\cong \operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Hom} _{R}(\Omega _{R{|K}},R))$ wird unter der natürlichen Abbildung (Scheja-Storch, Beispiel 86.10)

$\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\operatorname {Hom} _{R}(\Omega _{R{|K}},R))\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}(\operatorname {Sym} _{R}^{n}(\Omega _{R{|K}}),R)$

auf die gemittelte Auswertung

$\omega _{1}\cdots \omega _{n}\longmapsto \sum _{\pi \in S_{n}}\delta _{\pi (1)}(\omega _{1})\cdots \delta _{\pi (n)}(\omega _{n})$

geschickt. Für ${}\omega _{i}=df_{i}$ stimmt dies mit der oben bestimmten Wirkungsweise überein.

Zur bewiesenen Aussage