Hilbertscher Nullstellensatz/C/Linearkombination mit Funktionen/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten

${}V{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}\subseteq V(f)\,,$

woraus nach den Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass ${}f$ zum Radikal der ${}f_{1},\ldots ,f_{k}$ gehört. Es sei  ${}P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in {\mathbb {C} }^{n}$  ein Punkt, und es sei  ${}P\in V{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}$.  Das bdedeutet  ${}f_{i}(P)=0$  für alle ${}i$. Dann ist

${}f(P)={\left(g_{1}f_{1}+\cdots +g_{k}f_{k}\right)}(P)=g_{1}(P)f_{1}(P)+\cdots +g_{k}(P)f_{k}(P)=0\,,$

also

 ${}P\in V(f)$. 

Zur gelösten Aufgabe