Hilbertscher Nullstellensatz/Geometrische Version/Affin-algebraische Menge/Textabschnitt

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Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra mit Nullstellengebilde . Es sei ein Ideal in und ein Element, das auf verschwindet.

Dann gibt es ein mit in .

Beweis  

Die Verschwindungsbedingung in besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort gilt, wobei jetzt ein repräsentierendes Polynom aus und das Urbildideal in sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein mit . Dies bedeutet modulo , dass in die Beziehung gilt.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es seien , , Polynome mit

Dann erzeugen die das Einheitsideal in .

Beweis  

Sei das von allen , , erzeugte Ideal in . Die Voraussetzung besagt, dass

(auf ) leer ist. Dann ist , da ja ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von , also selbst, zu in gehört.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es sei ein Polynom, das auf keine Nullstelle besitzt.

Dann ist im Restklassenring eine Einheit.

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.