Hilbertscher Nullstellensatz/Geometrische Version/Affin-algebraische Menge/Textabschnitt

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra mit Nullstellengebilde ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$. Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ ein Ideal in ${}R$ und ${}F\in R$ ein Element, das auf ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V$ verschwindet.

Dann gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ in ${}R$.

Beweis

Die Verschwindungsbedingung ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ in ${}V=V({\mathfrak {a}})$ besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort ${}V({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}})\cap V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ gilt, wobei jetzt ${}F$ ein repräsentierendes Polynom aus ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}{\mathfrak {b}}$ das Urbildideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$. Dies bedeutet modulo ${}{\mathfrak {a}}$, dass in ${}R$ die Beziehung ${}F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ gilt.

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Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}i\in I$, Polynome mit

${}V=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$

Dann erzeugen die ${}F_{i}$ das Einheitsideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ das von allen ${}F_{i}$, ${}i\in I$, erzeugte Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Die Voraussetzung besagt, dass

${}V({\mathfrak {b}})=\bigcap _{i\in I}V(F_{i})\,$

(auf ${}V$) leer ist. Dann ist ${}V(1)\subseteq V({\mathfrak {b}})$, da ja ${}V(1)$ ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von ${}1$, also ${}1$ selbst, zu ${}{\mathfrak {b}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ gehört.

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Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf ${}V$ keine Nullstelle besitzt.

Dann ist ${}F$ im Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Einheit.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

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