Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Endliche Bestimmtheit/Einführung/Textabschnitt

Eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, besitzt im Nullpunkt eine Taylorentwicklung, die auf einer offenen Umgebung des Nullpunktes konvergiert und dort die Funktion darstellt. Durch Verkleinern können wir direkt annehmen, dass auf ${}U$ Konvergenz vorliegt. Insbesondere beschreibt die Taylorreihe die Funktion lokal vollständig und daher müssen auch Singularitätskonzepte wie Rechtsäquivalenz daraus ablesbar sein. Die Taylorreihe hat in Monomschreibweise die Form

${}\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }=\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}a_{\nu }X^{\nu }\right)}\,.$

Die abgebrochene Taylorentwicklung

$\sum _{k=0}^{d}{\left(\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =k}a_{\nu }X^{\nu }\right)}$

heißt das Taylorpolynom von ${}f$ der Ordnung ${}d$. Wir bezeichnen es mit ${}T_{d}(f)$. Wenn wir, wie häufig, ${}f(0)=0$ voraussetzen, so ist

${}T_{0}(f)=a_{0}=0\,$

und wenn zusätzlich der Nullpunkt ein kritischer sein soll, so ist

${}T_{1}(f)=0\,.$

Wenn für zwei holomorphe Funktionen ${}f$ und ${}g$ die Taylorpolynome der Ordnung ${}r$ übereinstimmen (was eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Potenreihen ist), so erwartet man, dass auch sonst gewisse Eigenschaften der Funktionen bzw. der durch sie gegebenen singulären Hyperflächen übereinstimmen.

Definition

Eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, heißt ${}r$-bestimmt, wenn jede holomorphe Funktion ${}g$ mit

${}T_{r}(f)=T_{r}(g)\,$

bereits zu ${}f$ rechtsäquivalent ist.

Der folgende Satz heißt Satz von Mather.

Satz

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung

${}{\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$

gelte, wobei ${}J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und ${}r$ eine natürliche Zahl ist.

Dann ist ${}f$ ${}r$-bestimmt.

Beweis

Wir müssen zeigen, dass eine holomorphe Funktion ${}g$, deren Taylorentwicklung der Ordnung ${}r$ mit der Taylorentwicklung der Ordnung ${}r$ von ${}f$ übereinstimmt, unter der gegebenen Voraussetzung bereits rechtsäquivalent zu ${}f$ ist. Wir können ${}g$ als ${}g=f+h$ mit

${}h\in {\mathfrak {m}}^{r+1}\,$

ansetzen. Wir wollen Fakt verwenden. Wir betrachten also die holomorphe Hilfsfunktion

${}H(t,z)=f(z)+th(z)\,$

für ${}t\in {\mathbb {C} }$ und müssen in den lokalen Ringen zu ${}(s,0)\in [0,1]\times {\mathbb {C} }^{n}$ (die wir unabhängig von ${}s$ mit ${}R$ bezeichnen) die Zugehörigkeit

${}h\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}{\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$

nachweisen. Wir setzen

${}{\mathfrak {a}}={\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$

und

${}{\mathfrak {m}}=(z_{1},\ldots ,z_{n})\,$

und betrachten diese Ideale in ${}R$, das maximale Ideal von ${}R$ sei mit ${}{\mathfrak {n}}$ bezeichnet. Es ist

${}\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r}\,.$

Die Voraussetzung

${}{\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$

gilt entsprechend auch in ${}R$, also ergibt sich

${}{\begin{aligned}{\mathfrak {m}}^{r+1}&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\left(\partial _{z_{1}}f,\ldots ,\partial _{z_{n}}f\right)}+{\mathfrak {m}}^{r+2}R\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}.\end{aligned}}$

Mit

${}M={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\,$

und

${}N={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\,$

gilt

${}{\begin{aligned}M&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq N+{\mathfrak {n}}M.\end{aligned}}$

Mit dem Lemma von Nakayama folgt ${}M=N$ und insbesondere

${}{\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}\,.$

Somit gilt ${}h\in {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}$.

$\Box$

Daraus erhalten wir die folgenden Spezialfälle.

Korollar

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung

${}{\mathfrak {m}}^{r-1}\subseteq J_{f}\,$

gelte, wobei ${}J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und ${}r$ eine positive natürliche Zahl ist.

Dann ist ${}f$ ${}r$-bestimmt.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt durch beidseitige Multiplikation mit ${}{\mathfrak {m}}^{2}$.

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Korollar

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{n}$ die Beziehung

${}{\mathfrak {m}}^{r}\subseteq {\mathfrak {m}}J_{f}\,$

gelte, wobei ${}J_{f}$ das Jacobiideal bezeichne und ${}r$ eine natürliche Zahl ist.

Dann ist ${}f$ ${}r$-bestimmt.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt durch beidseitige Multiplikation mit ${}{\mathfrak {m}}$.

$\Box$