Homogene Polynome/Ebene/Schnittmultiplizität/Aufgabe/Lösung

Homogene Polynome lassen sich über einem algebraisch abgeschlossenen Körper als Produkt von homogenen Linearfaktoren schreiben, es ist also

${}F=F_{1}\cdots F_{m}\,$

und

${}G=G_{1}\cdots G_{n}\,$

mit Linearfaktoren ${}F_{i},G_{j}$, wobei die ${}F_{i}$ und ${}G_{j}$ paarweise unterschiedliche Geraden durch den Nullpunkt definieren. Insbesondere schneiden sich je zwei Geraden mit der Schnittmultiplizität ${}1$ im Nullpunkt. Nach Fakt ist somit direkt

${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\sum _{i,j}\operatorname {mult} _{P}(F_{i},G_{j})=\sum _{i,j}1=mn\,.$

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