Homogene Polynome/S T ST/Homogene Gleichung/Aufgabe/Lösung

Ein solches Polynom existiert nicht. Denn sei

$F=\sum _{\alpha +\beta +\gamma =d}{a}_{(\alpha ,\beta ,\gamma )}{X}^{\alpha }{Y}^{\beta }{Z}^{\gamma }$

ein homogenes Polynom vom Grad $d$. Dann soll

$F(S,T,ST)=\sum _{\alpha +\beta +\gamma =d}{a}_{(\alpha ,\beta ,\gamma )}{S}^{\alpha +\gamma }{T}^{\beta +\gamma }=0$

gelten. Seien  $S^{{\alpha }_1+{\gamma }_1}{T}^{{\beta }_1+{\gamma }_1}=S^{{\alpha }_2+{\gamma }_2}{T}^{{\beta }_2+{\gamma }_2}$  Monome in $F(S,T,ST)$, dann gilt ${\alpha }_1+{\gamma }_1={\alpha }_2+{\gamma }_2$ und ${\beta }_1+{\gamma }_1={\beta }_2+{\gamma }_2$, zusammen also

${\alpha }_1+{\beta }_1+2{\gamma }_1={\alpha }_2+{\beta }_2+2{\gamma }_2,$

und da

${\alpha }_1+{\beta }_1+{\gamma }_1={\alpha }_2+{\beta }_2+{\gamma }_2=d$

ist, folgt ${\gamma }_1={\gamma }_2$, und somit auch ${\alpha }_1={\alpha }_2$ und ${\beta }_1={\beta }_2$.

Die Monome $S^{\alpha +\gamma }{T}^{\beta +\gamma }$ in obiger Summe sind also paarweise verschieden. Damit $F(S,T,ST)=0$ ist, müssen folglich schon alle $a_{(\alpha ,\beta ,\gamma )}$ gleich $0$ sein, d.h. es ist $F=0$.

Zur gelösten Aufgabe