Homogenes Polynom/Darstellung mit formalen partiellen Ableitungen/Aufgabe/Lösung

Da die partiellen Ableitungen und die Multiplikation mit einer Variablen linear sind, genügt es, die Aussage für ein Monom zu zeigen. Es sei also

{}H=X_{1}^{\nu _{1}}\cdot X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,.

Dann ist

{}{\begin{aligned}X_{1}{\frac {\partial H}{\partial X_{1}}}+\cdots +X_{n}{\frac {\partial H}{\partial X_{n}}}&=\nu _{1}X_{1}\cdot X_{1}^{\nu _{1}-1}\cdot X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}+\nu _{2}X_{2}\cdot X_{1}^{\nu _{1}}\cdot X_{2}^{\nu _{2}-1}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}+\cdots ++\nu _{n}X_{n}\cdot X_{1}^{\nu _{1}}\cdot X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}-1}\\&=\nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}}\cdot X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}+\nu _{2}X_{1}^{\nu _{1}}\cdot X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}+\cdots +\nu _{n}X_{1}^{\nu _{1}}\cdot X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\\&=(\nu _{1}+\nu _{2}+\cdots +\nu _{n})X_{1}^{\nu _{1}}\cdot X_{2}^{\nu _{2}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.\end{aligned}}

Dies ist die Behauptung, da die Summe der Exponenten der Grad des Monoms ist.