Homogenisierung und projektiver Abschluss/Kurven/Einführung/Textabschnitt

Betrachten wir die Hyperbel  ${}V(XY-1)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$.  Die Hyperbel ist in der affinen Ebene abgeschlossen, aber nicht in der projektiven Ebene. Dies sieht man, wenn man die affine Ebene als ${}V(Z-1)$ in den dreidimensionalen Raum einbettet und die durch die Punkte auf der Hyperbel definierten Geraden durch den Nullpunkt betrachtet. Diese Geraden neigen sich zunehmend stärker, und scheinen gegen die ${}x$-Achse und gegen die ${}y$-Achse zu konvergieren. Dies ist in der Tat der Fall, was auch die algebraische Berechnung ergibt, siehe Aufgabe.

Definition

Zu einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  heißt das Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$, das von allen Homogenisierungen von Elementen aus ${}{\mathfrak {a}}$ erzeugt wird, die Homogenisierung ${}{\mathfrak {a}}^{h}$ des Ideals ${}{\mathfrak {a}}$.

Man beachte, dass es hier im Allgemeinen nicht ausreicht, nur die Homogenisierungen aus einem Ideal-Erzeugendensystem aus ${}{\mathfrak {a}}$ zu betrachten.

Definition

Zu einer affinen Varietät  ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  heißt der Zariski-Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Abschluss von ${}V({\mathfrak {a}})$.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$  eine affine Varietät.

Dann wird der projektive Abschluss von ${}V({\mathfrak {a}})$ in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ durch ${}V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,

wobei ${}{\mathfrak {b}}$ die Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$ in $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet.

Beweis

Ein Punkt  ${}P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$  in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ definiert den Punkt  ${}{\hat {P}}=\left(1,\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$  in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Für ein Polynom  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  und ${}P$ gilt  ${}F(P)={\hat {F}}({\hat {P}})$  für die Homogenisierung ${}{\hat {F}}$. Daher gilt insbesondere  ${}{\hat {F}}({\hat {P}})=0$  für alle Punkte  ${}P\in V({\mathfrak {a}})$  und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal ${}{\mathfrak {b}}$. Es ist also  ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$.  Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}V({\mathfrak {a}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V_{+}({\mathfrak {b}})&\\\downarrow &&\downarrow &\\{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor (wobei alle Abbildungen injektiv sind). Der projektive Abschluss von ${}V({\mathfrak {a}})$ wird von einer Menge ${}V_{+}({\mathfrak {c}})$ mit einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {c}}$ und mit  ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$  und  ${}V_{+}({\mathfrak {c}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$  beschrieben.

Wir haben die Inklusion  ${}V_{+}({\mathfrak {b}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$  zu zeigen, was aus  ${}{\mathfrak {c}}\subseteq \operatorname {rad} \,({\mathfrak {b}})$  folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf  ${}F\in {\mathfrak {c}}$  homogen beschränken. Wir schreiben  ${}F=X_{0}^{r}G$,  sodass ${}G$ kein Vielfaches von ${}X_{0}$ ist. Da ${}F$ auf ${}V({\mathfrak {a}})$ verschwindet und da ${}X_{0}$ eingeschränkt auf  ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(X_{0})$  keine Nullstelle besitzt, folgt, dass ${}G$ auf ${}V({\mathfrak {a}})$ verschwindet. Wir können also annehmen, dass ${}F$ kein Vielfaches von ${}X_{0}$ ist. Dann ist die Dehomogenisierung

${}{\tilde {F}}=F(1,X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

die Nullfunktion auf ${}V({\mathfrak {a}})$ und besitzt den gleichen Grad wie ${}F$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz gehört ${}{\tilde {F}}$ zu ${}{\mathfrak {a}}$ (wir können annehmen, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist). Dann gehört aber auch ${}F$, das sich aus ${}{\tilde {F}}$ durch Homogenisieren ergibt, zur Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$, also zu ${}{\mathfrak {b}}$.

$\Box$