Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/1/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien  ${}f_{1},f_{2}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$.  Für  ${}u\in U$  ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(f_{1}+f_{2}\right)}\circ \varphi \right)}(u)&={\left(f_{1}+f_{2}\right)}{\left(\varphi (u)\right)}\\&=f_{1}(\varphi (u))+f_{2}(\varphi (u))\\&={\left(f_{1}\circ \varphi \right)}(u)+{\left(f_{2}\circ \varphi \right)}(u),\end{aligned}}$

also

${}{\left(f_{1}+f_{2}\right)}\circ \varphi =f_{1}\circ \varphi +f_{2}\circ \varphi \,.$

Es sei  ${}f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$  und  ${}s\in K$.  Für  ${}u\in U$  ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(sf\right)}\circ \varphi \right)}(u)&={\left(sf\right)}{\left(\varphi (u)\right)}\\&=sf(\varphi (u))\\&=s{\left(f\circ \varphi \right)}(u),\end{aligned}}$

also

${}{\left(sf\right)}\circ \varphi =s{\left(f\circ \varphi \right)}\,.$

Zur bewiesenen Aussage