Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/2/Fakt/Beweis

Beweis

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$

Es seien  ${}f_{1},f_{2}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$.  Dann ist für  ${}v\in V$ 

${}{\begin{aligned}{\left(\psi \circ {\left(f_{1}+f_{2}\right)}\right)}(v)&=\psi {\left({\left(f_{1}+f_{2}\right)}(v)\right)}\\&=\psi {\left(f_{1}(v)+f_{2}(v)\right)}\\&=\psi (f_{1}(v))+\psi (f_{2}(v))\\&={\left(\psi \circ f_{1}\right)}(v)+{\left(\psi \circ f_{2}\right)}(v),\end{aligned}}$

also ist

${}\psi \circ {\left(f_{1}+f_{2}\right)}=\psi \circ f_{1}+\psi \circ f_{2}\,.$

Es sei  ${}f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$  und  ${}s\in K$.  Dann ist für  ${}v\in V$ 

${}(\psi \circ (sf))(v)=\psi ((sf)(v))=\psi (s(f(v)))=s(\psi (f(v)))=s((\psi \circ f)(v))\,,$

also ist

${}\psi \circ (sf)=s\psi \circ f\,.$

Zur bewiesenen Aussage