Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es seien  $f_1,f_2\in {\mathrm{Hom}}_K(V,W)$.  Für  $u\in U$  ist

   $\begin{array}{cc}((f_1+f_2)\circ \phi )(u)& =(f_1+f_2)(\phi (u))\\ & =f_1(\phi (u))+f_2(\phi (u))\\ & =(f_1\circ \phi )(u)+(f_2\circ \phi )(u),\end{array}$

   also

   $(f_1+f_2)\circ \phi =f_1\circ \phi +f_2\circ \phi .$

   Es sei  $f\in {\mathrm{Hom}}_K(V,W)$  und  $s\in K$.  Für  $u\in U$  ist

   $\begin{array}{cc}(\left(sf\right)\circ \phi )(u)& =\left(sf\right)(\phi (u))\\ & =sf(\phi (u))\\ & =s(f\circ \phi )(u),\end{array}$

   also

   $\left(sf\right)\circ \phi =s(f\circ \phi ).$

2. ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)⟶{\mathrm{Hom}}_K(V,T),f⟼\psi \circ f.$

   Es seien  $f_1,f_2\in {\mathrm{Hom}}_K(V,W)$.  Dann ist für  $v\in V$ 

   $\begin{array}{cc}(\psi \circ (f_1+f_2))(v)& =\psi ((f_1+f_2)(v))\\ & =\psi (f_1(v)+f_2(v))\\ & =\psi (f_1(v))+\psi (f_2(v))\\ & =(\psi \circ f_1)(v)+(\psi \circ f_2)(v),\end{array}$

   also ist

   $\psi \circ (f_1+f_2)=\psi \circ f_1+\psi \circ f_2.$

   Es sei  $f\in {\mathrm{Hom}}_K(V,W)$  und  $s\in K$.  Dann ist für  $v\in V$ 

   $(\psi \circ (sf))(v)=\psi ((sf)(v))=\psi (s(f(v)))=s(\psi (f(v)))=s((\psi \circ f)(v)),$

   also ist

   $\psi \circ (sf)=s\psi \circ f.$

Zur bewiesenen Aussage