Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

1. Es seien  ${}f_{1},f_{2}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$.  Für  ${}u\in U$  ist

   ${}{\begin{aligned}{\left({\left(f_{1}+f_{2}\right)}\circ \varphi \right)}(u)&={\left(f_{1}+f_{2}\right)}{\left(\varphi (u)\right)}\\&=f_{1}(\varphi (u))+f_{2}(\varphi (u))\\&={\left(f_{1}\circ \varphi \right)}(u)+{\left(f_{2}\circ \varphi \right)}(u),\end{aligned}}$

   also

   ${}{\left(f_{1}+f_{2}\right)}\circ \varphi =f_{1}\circ \varphi +f_{2}\circ \varphi \,.$

   Es sei  ${}f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$  und  ${}s\in K$.  Für  ${}u\in U$  ist

   ${}{\begin{aligned}{\left({\left(sf\right)}\circ \varphi \right)}(u)&={\left(sf\right)}{\left(\varphi (u)\right)}\\&=sf(\varphi (u))\\&=s{\left(f\circ \varphi \right)}(u),\end{aligned}}$

   also

   ${}{\left(sf\right)}\circ \varphi =s{\left(f\circ \varphi \right)}\,.$

2. $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$

   Es seien  ${}f_{1},f_{2}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$.  Dann ist für  ${}v\in V$ 

   ${}{\begin{aligned}{\left(\psi \circ {\left(f_{1}+f_{2}\right)}\right)}(v)&=\psi {\left({\left(f_{1}+f_{2}\right)}(v)\right)}\\&=\psi {\left(f_{1}(v)+f_{2}(v)\right)}\\&=\psi (f_{1}(v))+\psi (f_{2}(v))\\&={\left(\psi \circ f_{1}\right)}(v)+{\left(\psi \circ f_{2}\right)}(v),\end{aligned}}$

   also ist

   ${}\psi \circ {\left(f_{1}+f_{2}\right)}=\psi \circ f_{1}+\psi \circ f_{2}\,.$

   Es sei  ${}f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$  und  ${}s\in K$.  Dann ist für  ${}v\in V$ 

   ${}(\psi \circ (sf))(v)=\psi ((sf)(v))=\psi (s(f(v)))=s(\psi (f(v)))=s((\psi \circ f)(v))\,,$

   also ist

   ${}\psi \circ (sf)=s\psi \circ f\,.$

Zur gelösten Aufgabe