Hopf-Algebra/Additive Gruppe/Überprüfe/Aufgabe/Lösung

Wir müssen die Eigenschaften einer Hopf-Struktur nachweisen. Da alle Homomorphismen in den relevanten Diagrammen ${}K$-Algebrahomomorphismen sind, die von ${}K[X]$ ausgehen, genügt es, zu zeigen, dass die Variable ${}X$ unabhängig vom Weg letztlich auf das gleiche Element abgebildet wird.

Zur Koassoziativität.

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(\operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \right)}\circ \Delta \right)}(X)&={\left(\operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \right)}{\left(\Delta (X)\right)}\\&={\left(\operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \right)}{\left(X\otimes 1+1\otimes X\right)}\\&=X\otimes \Delta (1)+1\otimes \Delta (X)\\&=X\otimes 1\otimes 1+1\otimes {\left(X\otimes 1+1\otimes X\right)}\\&=X\otimes 1\otimes 1+1\otimes X\otimes 1+1\otimes 1\otimes X.\end{aligned}}$

Das Gleiche ergibt sich, wenn man ${}{\left({\left(\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}\right)}\circ \Delta \right)}(X)$ auswertet.

Nachweis der Koeinheit.

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(\epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\right)}\circ \Delta \right)}(X)&={\left(\epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\right)}{\left(\Delta (X)\right)}\\&={\left(\epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\right)}{\left(X\otimes 1+1\otimes X\right)}\\&=\epsilon (X)\otimes 1+\epsilon (1)\otimes X\\&=0\otimes 1+1\otimes X\\&=1\otimes X.\end{aligned}}$

Nachweis des Koinversen.

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(\operatorname {Id} _{H}\cdot S\right)}\circ \Delta \right)}(X)&={\left(\operatorname {Id} _{H}\cdot S\right)}{\left(\Delta (X)\right)}\\&={\left(\operatorname {Id} _{H}\cdot S\right)}{\left(X\otimes 1+1\otimes X\right)}\\&=X\cdot S(1)+1\cdot S(X)\\&=X+1\cdot (-X)\\&=0.\end{aligned}}$

Dies stimmt mit ${}\epsilon (X)$ überein.

Zur gelösten Aufgabe