Hyperflächensingularität/Zweidimensional/Homogen/Geschlossene Differentialformen/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist unter Verwendung von Fakt

\begin{matrix} d (x^{i} y^{j} z^{k} D) \\ = x^{i} y^{j} z^{k} d D + (i x^{i - 1} y^{j} z^{k} d x + j x^{i} y^{j - 1} z^{k} d y + k x^{i} y^{j} z^{k - 1} d z) \land D \\ = x^{i} y^{j} z^{k} d D + (i x^{i - 1} y^{j} z^{k} d x + j x^{i} y^{j - 1} z^{k} d y + k x^{i} y^{j} z^{k - 1} d z) \land \frac{- y d x + x d y}{\partial_{3} (F)} \\ = x^{i} y^{j} z^{k} \frac{3 - δ}{\partial_{3} (F)} d x \land d y + (i x^{i - 1} y^{j} z^{k} d x + j x^{i} y^{j - 1} z^{k} d y + k x^{i} y^{j} z^{k - 1} d z) \land \frac{- y d x + x d y}{\partial_{3} (F)} \\ = \frac{x^{i} y^{j} z^{k}}{\partial_{3} (F)} ((3 - δ) d x \land d y + (i \frac{d x}{x} + j \frac{d y}{y} + k \frac{d z}{z}) \land (- y d x + x d y)) \\ = \frac{x^{i} y^{j} z^{k}}{\partial_{3} (F)} ((3 - δ) d x \land d y + i d x \land d y + j d x \land d y + \frac{k}{z} (- y d z \land d x + x d z \land d y)) \\ = \frac{x^{i} y^{j} z^{k}}{\partial_{3} (F)} ((3 - δ + i + j) d x \land d y + \frac{k}{z} (- y \frac{\partial_{2} (F)}{\partial_{3} (F)} d x \land d y - x \frac{\partial_{1} (F)}{\partial_{3} (F)} d x \land d y)) \\ = \frac{x^{i} y^{j} z^{k}}{\partial_{3} (F)} (3 - δ + i + j + k) d x \land d y . \end{matrix}

Für $i + j + k = δ - 3$ ist der Vorfaktor gleich $0$ und die Form ist geschlossen. Der Grad ist in diesem Fall gleich $δ - 3 + 3 - δ = 0$ .