Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kählermodul/Reflexiv/Erzeuger/Fakt/Beweis

Beweis

Der Modul ist graduiert, wir betrachten die einzelnen homogenen Komponenten. Wir gehen aus von der kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}(m)\,{\stackrel {D}{\longrightarrow }}\,\Omega (m+\delta _{1}+\delta _{2}+\delta _{3}-\delta )\,{\stackrel {E}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}(m+\delta _{1}+\delta _{2}+\delta _{3}-\delta )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

aus Fakt. Für ${}m$ negativ haben wir sowohl links als auch aufgrund der Voraussetzung rechts keine globalen Schnitte ${}\neq 0$. Für

${}0\leq m<\delta -\delta _{1}-\delta _{2}-\delta _{3}\,$

gibt es rechts keine Schnitte, was bedeutet, dass in diesem Gradbereich alle Differentialformen Vielfache von ${}D$ sind. Bei

${}0\leq m=\delta -\delta _{1}-\delta _{2}-\delta _{3}\,$

ist die rechte Seite gleich ${}K$. Nach Fakt ist die Sequenz nicht exakt und daher ist in diesem Gradbereich die Abbildung rechts die Nullabbildung, und wieder sind alle Differentialformen Vielfache von ${}D$. Es sei also

${}m>\delta -\delta _{1}-\delta _{2}-\delta _{3}\,.$

Die Abbildung rechts ist surjektiv, da ${}dx_{i}$ auf ${}\delta _{i}x_{i}$ abgebildet wird (bzw. weil die erste Kohomologie der Strukturgarbe links in diesem Gradbereich gleich ${}0$ ist). Für eine beliebige Differentialform ${}\tau$ findet man also eine Form  ${}\sigma =h_{1}dx+h_{2}dy+h_{3}dz$  mit  ${}E(\tau )=E(\sigma )$.  Dann ist ${}\tau -\sigma$ ein Vielfaches von ${}D$.

Zur bewiesenen Aussage