Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kählermodul/Symmetrische Potenzen/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}q$, der Fall  ${}q=1$  ist durch Fakt abgedeckt. Zum Induktionsschluss betrachten wir die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}(m)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(Sym^{q}(\Omega ))(m+q(\delta _{1}+\delta _{2}+\delta _{3}-\delta ))\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,(Sym^{q-1}(\Omega ))(m+q(\delta _{1}+\delta _{2}+\delta _{3}-\delta ))\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Wegen

${}m+q(\delta _{1}+\delta _{2}+\delta _{3}-\delta )=m+\delta _{1}+\delta _{2}+\delta _{3}-\delta +(q-1)(\delta _{1}+\delta _{2}+\delta _{3}-\delta )\,$

kann man für ${}m$ negativ links die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhält die Aussage.

Zur bewiesenen Aussage